Вероятностная оценка распределения простых чисел

[vicvolf]

Теперь рассмотрим оценку точности гипотезы Бейтмана-Хорна.

Предположим, что выполняются указанное ранее эвристическое предположение:
1. Существует вероятность натурального числа быть простым.
2. Вероятность натурального числа $m$ быть простым равна $1/\ln(m)$ для больших $m$.

Пусть выполняются также все остальные предположения гипотезы Бейтмана-Хорна.

Предположим. что $f_1,...f_r$ многочлены, принимающие целочисленные значения на множестве натуральных чисел, с натуральными степенями соответственно $h_1,...h_r$ и положительными коэффициентами при наибольших степенях.

Также предположим, что все указанные многочлены принимают бесконечное число простых значений на множестве натуральных чисел.
На этот счет имеется гипотеза Шинцеля. В которой считается, что для выполнения данного предположения достаточно, чтобы все указанные многочлены были неприводимыми в кольце целых чисел и не имели целых делителей.
Поскольку гипотеза Шинцеля не доказана, то я просто делаю данное предположение.

Тогда на основании гипотезы Бейтмана_Хорна при $x>1$ количество натуральных чисел, не превосходящих $x$, при которых все многочлены $f_1,...f_r$ принимают простые значения асимптотически равно:
$\pi(f_1,...f_r,x) \sim C(f_1,...f_r) (h_1 \cdot ...\cdot h_r)^{-1} \int_{2}^x {dt/\ln^k(t)}$. (19)

Значение коэффициента $C(f_1,...f_r)$ на основании гипотезы Бейтмана-Хорна равно:
$C(f_1,...f_r)=\prod_{p} (1-w(f_1,...f_{r})/p) (1-1/p)^{-r}$, (20)
где $w(f_1,...f_{r})$- число решений сравнения $f_1(n) \cdot...\cdot f_r(n) \equiv 0(\mod p)$.

Обратим внимание, что если $w(f_1,...f_{r})=p$ для некоторого $p$ то $C(f_1,...f_r)=0$ и многочлены принимают конечное число простых значений на множестве натуральных чисел. В этом случае, условия гипотезы Шинцеля не выполняются, но формула (19) все равно дает правильный результат равный 0.
Если $w(f_1,...f_{r})<p$, то условия гипотезы Шинцеля выполняются и значение формулы (19) отлично от 0.

В частном случае при $r=1$ и $f_1=n$ получаем $C(f_1)=1$ - асимтотический закон простых чисел.
При $r=2$ и $f_1=n$ и $f_2=n+2$ получаем $C(f_1,f_2)=1,32...$ - гипотеза Харди-Литлвуда для простых близнецов.
При $r=k$ и $f_1=n$, $f_2=n+2m_1$,...$f_{k-1}=n+2m_{k-1}$ получаем гипотезу Харди-Литлвуда для простых $k$- кортежей.

[vicvolf]

Уточню формулу (19):
$\pi(f_1,...f_r,x) \sim C(f_1,...f_r) (h_1 \cdot ...\cdot h_r)^{-1} \int_{2}^x {dt/\ln^r(t)}$. (19)

Также уточню фразу.
Обратим внимание, что если $w(f_1,...f_{r})=p$ для некоторого $p$ то $C(f_1,...f_r)=0$ и хотя бы один из многочленов принимают конечное число простых значений на множестве натуральных чисел. В этом случае, условия гипотезы Шинцеля не выполняются, но формула (19) все равно дает правильный результат равный 0.

Обобщим вероятностную модель Крамера для гипотезы Бейтмана-Хорна.

Назовем, для определенности, данную модель - седьмой вероятностной моделью.
Отличие седьмой вероятностной модели от шестой заключается только в том, что в данной модели вероятность выбрать из $i$-ой урны былый шар равна:
$p_i=C(f_1,...f_{r})/\ln^r(i)$. (21)
Значение $C(f_1,...f_{r})$ определяется по формуле (20).

Проанализируем последовательность натуральных чисел $n$, для которой $f_1(n)$ принимает простые значения.
Учитывая, что коэффициент при старшем члене (наибольшей степени) многочлена по условиям гипотезы является положительным, то начиная с некоторого $n>N_1$ последовательность $f_1(n)$ является положительной, целочисленной и строго возрастающей. Поэтому последовательность натуральных чисел, при которой $f_1(n)$ принимает простые значения $n=f_1^{-1}(p)$ ($p$-простые значения), где $f^{-1}(a)$ - значение обратной функции в точке $a$, также является положительной, целочисленной и строго возрастающей.

Теперь рассмотрим последовательность натуральных чисел $n$, для которой все многочлены $f_1(n),...f_r(n)$ одновременно принимают простые значения. Учитывая, что коэффициенты при старших членах многочленов $f_1(n),...f_r(n)$ по условию гипотезы являются положительными, то начиная с некоторого $n>N$ указанная последовательность натуральных чисел является подпоследовательностью последовательности $n=f_1^{-1}(p)$ и поэтому является положительной, целочисленной и строго возрастающей.

Предположим, что последовательность номеров урн, из которых вынимается белый шар $(P_i)$ в модели Крамера в седьмой вероятностной модели является последовательностью натуральных чисел, при которых все значения $f_1(n),...f_r(n)$ являются простыми. Следовательно последовательность $(P_i)$ в данном случае является целочисленной, неотрицательной, строго возрастающей, поэтому принадлежит классу $K$ модели Крамера.

Обозначим $G(x)$ количество $P_i$, не превышающих $x$. $G(x)$ - случайная величина.
Обозначим $G_i$ случайную величину, которая принимает значение 1, если из $i$-ой урны достается белый шар и 0, в противном случае.
Поэтому случайная величина $G(x)=\sum_{i=1}^{x} (G_i)$ - сумма независимых случайных величин.

[vicvolf]

Найдем характеристики седьмой вероятностной модели для гипотезы Бейтмана-Хорна.

Математическое ожидание случайной величины $G(x)$ на основании формулы (35) равно:

$M(G(x))=\sum_{i = 2}^{x}{C(f_1,...f_{r})/\ln^r(i)}\approx C(f_1,...f_{r})\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^r(t)} $, (22)

где $C(f_1,...f_{r})$ - определяется по формуле (20).

Обратите внимание, что количество натуральных чисел, при которых многочлены $f_1,...f_r$ принимают простые значения в гипотезе Бейтмана-Хорна определяется именно по формуле (22).

Дисперсия случайной величины $G(x)$ на основании формулы (36) равна:

$D(G(x))=\sum_{i = 2}^{x}{C(f_1,...f_{r})/\ln^r(i)}-\sum_{i = 2}^{x}(C(f_1,..f_{r})^2/\ln^{2r}(i)) \approx $$ C(f_1,...f_{r})\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^r(t)} - C(f_1,...f_{r})^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{2r}(t)}$. (23)

Теперь о точности формул (22) и (23).

Ранее было доказано утверждение, что для функции $F(x)=1/\ln^k(x)$ при $A>1$ выполняется оценка:
$B<0,6202 F(k+1)$, где $B=\lim_{n \to \infty}|\sum_{i=0}^{n} {F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}|$.

Можно показать, что на основании данного утверждения ошибка в формуле (22) пренебрежимо мала. Аналогично в формуле (23).

Учитывая, что ряд $\sum_{i=2}^{\infty}{C(f_1,...f_{r})/\ln^r(i)}-\sum_{i=2}^{\infty}{C(f_1,...f_{r})^2/\ln^{2r}(i)}$ расходится, то на основании доказанного утверждения (сообщение от 18.02.2015) выполняется условия ЦПТ в форме Ляпунова.

Поэтому для больших $x$ на основании (38) получаем соотношение:

$P(|G(x)-C(f_1,...f_{r})\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^r(t)}|<$ $S\sqrt{C(f_1,...f_{r})\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^r(t)} -C(f_1,...f_{r})^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{2r}(t)}}) \approx F(S)$, (24)
где $F(S)$ - значение функции модуля стандартного нормального распределения в точке $S$.

Таким образом, можно выбрать такое значение $S$, чтобы вероятность выполнения соотношения (24) была сколь угодно близка к 1

[vicvolf]

Сопоставим разницу между количеством натуральных чисел на интервале от 2 до $x$, при которых многочлены $f_1(n),...f_r(n)$ принимают простые значения на основании гипотезы Бейтмана-Хорна, и фактического их количества с величиной среднеквадратичного отклонения, полученного по формуле (24): $\sqrt{C(f_1,...f_{r})(h_1...h_r)^{-1}\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^r(t)} - C(f_1,...f_{r})^2(h_1...h_r)^{-2}\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{2r}(t)}} $, (25) где $C(f_1,...f_{r})$ определяется по формуле (20).

Для примера рассмотрим многочлен $f(n)=n^2+1$. Данный многочлен отвечает всем требованиям гипотезы Бейтмана-Хорна.

Значение коэффициента $C(f)$, определенного по формуле (20), для данного многочлена равно: $C(f)=\prod_{p} {(1-(-1/p))/(1-1/p)}$, (26), где $(-1/p)$ - символ Лежандра.

В работе http://www.ams.org/journals/mcom/1960-1 ... 0203-6.pdf зачение $C(f)$ найдено с большой точностью. Поэтому количество натуральных чисел, не превышающих $x$, при которых многочлен $f(n)=n^2+1$ принимает простые значения на основании гипотезы Бейтмана-Хорна находятся по формуле: $\pi(f,2,x) \sim C(f)/2 \int_{2}^{x} {dt/\ln(t)}=0,6864067...\cdot \int_{2}^{x} {dt/\ln(t)}$. (27)

Тогда среднеквадратичное отклонение (25) для многочлена $f(n)=n^2+1$ определяется по формуле: $\sqrt{0,6864067...\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^(t)} - (0,6864067...)^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{2}(t)}} $. (28)

Для вычисления будем использовать данные по фактическому количеству натуральных чисел, при которых многочлен $f(n)=n^2+1$ принимает простые значения, из работы П. Рибенбойма "Рекорды простых чисел".

При $x=10^4$ фактическое количество натуральных чисел, при которых многочлен $f(n)=n^2+1$ принимает простые значения равно $842$, рассчитанное на основании гипотезы Бейтмана-Хорна- $855$, разница - $-13$, среднеквадратичное отклонение - $28$.

При $x=10^5$ фактическое количество натуральных чисел, при которых многочлен $f(n)=n^2+1$ принимает простые значения равно $6656$, рассчитанное на основании гипотезы Бейтмана-Хорна- $6609$, разница - $47$, среднеквадратичное отклонение - $79$.

При $x=1,8 \cdot 10^5$ фактическое количество натуральных чисел, при которых многочлен $f(n)=n^2+1$ принимает простые значения равно $11223$, рассчитанное на основании гипотезы Бейтмана-Хорна- $11250$, разница - $-27$, среднеквадратичное отклонение - $103$.

При $x=1,4 \cdot 10^7$ фактическое количество натуральных чисел, при которых многочлен $f(n)=n^2+1$ принимает простые значения равно $624535$, рассчитанное на основании гипотезы Бейтмана-Хорна- $624897$, разница - $-362$, среднеквадратичное отклонение - $773$.

Обратим внимание, что при $x=10^5$ разница положительна, а в остальных случаях - отрицательна, что соответствует нормальному распределению вероятностей.
Также интересно небольшое отклонение, определенное на основании гипотезы Бейтмана-Хорна, от фактического значения.
Данное отклонение не превосходит одно значение среднеквадратичного отклонения, определенного по формуле (28).

-- 23.03.2015, 15:38 --

Уточним формулы:
$p_i=C(f_1,...f_{r})(h_1...h_r)^{-1}/\ln^r(i)$. (21)
Значение $C(f_1,...f_{r})$ определяется по формуле (20).

$M(G(x))=\sum_{i = 2}^{x}{C(f_1,...f_{r})(h_1...h_r)^{-1}/\ln^r(i)}\approx C(f_1,...f_{r})(h_1...h_r)^{-1}\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^r(t)} $. (22)

Дисперсия случайной величины $G(x)$ на основании формулы (36) равна:

$D(G(x))=\sum_{i = 2}^{x}{C(f_1,...f_{r})(h_1...h_r)^{-1}/\ln^r(i)}-\sum_{i = 2}^{x}(C(f_1,..f_{r})^2(h_1...h_r)^{-2}/\ln^{2r}(i)) \approx $$ C(f_1,...f_{r})(h_1...h_r)^{-1}\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^r(t)} - C(f_1,...f_{r})^2(h_1...h_r)^{-2}\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{2r}(t)}$. (23)

Учитывая, что ряд $\sum_{i=2}^{\infty}{C(f_1,...f_{r})(h_1...h_r)^{-1}/\ln^r(i)}-\sum_{i=2}^{\infty}{C(f_1,...f_{r})^2(h_1...h_r)^{-2}/\ln^{2r}(i)}$ расходится, то на основании доказанного утверждения (сообщение от 18.02.2015) выполняется условия ЦПТ в форме Ляпунова.

Поэтому для больших $x$ на основании (38) получаем соотношение:

$P(|G(x)-C(f_1,...f_{r})(h_1...h_r)^{-1}\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^r(t)}|<$ $S\sqrt{C(f_1,...f_{r})(h_1...h_r)^{-1}\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^r(t)} -C(f_1,...f_{r})^2(h_1...h_r)^{-2}\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{2r}(t)}}) \approx F(S)$, (24)
где $F(S)$ - значение функции модуля стандартного нормального распределения в точке $S$.

[vicvolf]

В 1943 г. Сельберг показал, что если $y/\ln^2(x)$ стремится к бесконечности, тогда выполняется:
$\pi(x+y)-\pi(x)=(1+o(1))y/\ln(x)$ (25)
для $o(x)$ натуральных $x<X$.

В 1985 г. Майер в работе http://projecteuclid.org/download/pdf_1 ... 1029003189
доказал, что на коротких интервалах $y=\ln^N(x)$ для любого фиксированного $N$ существует постоянная $a_N$ такая, что:
$\pi(x_{+}+\ln^N(x_{+}))-\pi(x_{+1})>(1+a_N) \ln^{N-1}(x_{+})$ и $\pi(x_{-}+\ln^N(x_{-}))-\pi(x_{-})<(1-a_N) \ln^{N-1}(x_{-})$ (26) для достаточно больших $x_{+},x_{-}$.

Это подтверждает, что имеет смысл оценку $\pi(x+y)-\pi(x)$ проводить вероятностными методами. Об этой оценке мы поговорим немного позже.

[vicvolf]

Обозначим $\pi(x;k,l)$ - количество простых чисел, не превосходящих $x$, принадлежащих арифметической прогресии $kn+l,(k,l)=1$.

Теорема Дирихле утверждает: $\pi(x;k,l) \sim \pi(x)/\varphi(k)$, (26) где $\varphi(k)$ - функция Эйлера в $k$.

Однако, для конечных $x$ и различных $k,l$ отклонение $\pi(x;k,l)$ от $\pi(x)/\varphi(k)$ может быть значительно.

Гренвилле и Фридлендер в работе http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/Equidist2.pdf , используя идею Майера показали, что для любого фиксированного $N>0$ существует $b_N>0$ такое, что для любого $k$ с "не слишком большим количеством малых простых делителей" существует арифметическая прогрессия $l+kn$ или $l-kn$ и переменные $x_{+},x_{-}$, принадлежащие интервалу $[\varphi(k)\ln^N(k), 2\varphi(k)\ln^N(k)]$, такие что:
$\pi(x_{+};k,l_{+})>(1+b_N)\pi(x_{+})/\varphi(k)$ и $\pi(x_{-};k,l_{-})<(1-b_N)\pi(x_{-})/\varphi(k)$. (27)

Это значит, что для любого $k$ с "несколькими малыми простыми делителями" существуют такие $x=x_{+},x=x_{-}$ в интервале $[\varphi(k)\ln^N(k), 2\varphi(k)\ln^N(k)]$, что для $l=l_{+}$ разница $\pi(x;k,l) -\pi(x)/\varphi(k)>b_N\pi(x)/\varphi(k)$ и для $l=l_{-}$ разница $\pi(x;k,l) -\pi(x)/\varphi(k)<b_N\pi(x)/\varphi(k)$.

Отсюда вытекает, что оценку отклонения $|\pi(x;k,l) -\pi(x)/\varphi(k)|$ имеет смысл проводить с помощью вероятностных методов.

[vicvolf]

Сделаю небольшое пояснение.

Из формулы (26) следует, что для любой арифметической прогрессии $kn+l,(k,l)=1, k>1,l<k$ выполняется:
$\pi(x;k,l)-\pi(x)/\varphi(k)=o(\pi(x))$.

Исходя из (27) следует, что существует такая арифметическая прогрессия $kn+l,(k,l)=1, k>1,l<k$, для которой выполняется:
$\pi(x;k,l)-\pi(x)/\varphi(k)=O(\pi(x))$.

Таким образом, в приведенной выше работе Гренвилле и Фридлендер показали выполнение (27), которое противоречит (26). Поэтому формула (26), в общем случае, не верна и справедлива только с некоторой вероятностью. Возникает вопрос, с какой вероятностью?

Гренвилле в своей работе https://www.dartmouth.edu/~chance/chanc ... cramer.pdf пишет, что существует широко распространенное мнение, что формула (26) выполняется для "почти всех" $k$ (с вероятностью равной 1) в диапазоне $2<k<x/\ln^{2+\varepsilon}(x), \varepsilon>0$ и всех $l,(l,k)=1$.

Однако, данная вероятностная гипотеза, в силу сказанного выше, не верна и выполняется только с вероятностью меньшей 1.

Учитывая это вероятностные модели оценки точности формулы (26) должны давать различные значения вероятности, зависящие от $k$, и меньшие 1. Указанным требованиям удолетворяют вероятностные модели 3, 4 рассмотренные выше в данной теме.

[vicvolf]

Вернемся к распределению простых чисел в натуральном ряде.

В сообщении от 07.10.2014 данной темы я уже говорил об одной теореме Литлвуда, правда немного в другом контексте. Сейчас я снова вернусь к этой теореме. Сформулируем ее следующим образом.
При достаточно большом $x$ можно найти такую постоянную $C$, что будет выполняться неравенство:
$|\pi(x)-Li(x)|>C(x^{1/2}\ln\ln\ln(x)/\ln(x))$ (28) (Прахар стр.293 теорема 8.4)

Учитывая (28) можно говорить только о вероятности выполнения неравенства:
$P(|\pi(x)-Li(x)|<C_1(x_1^{1/2}\ln\ln\ln(x_1)/\ln(x_1)))<1$ (29)
при некотором фиксированном большом $x_1$ и некотором фиксированном $C_1$.

Неравенство $|\pi(x)-Li(x)|<C_1(x_1^{1/2}\ln\ln\ln(x_1)/\ln(x_1))$ более сильное, чем гипотеза Римана, поэтому не удивительно, что оно выполняется только с вероятностью меньше 1 (29).

Поскольку первая и вторая вероятностные модели распределения простых чисел в натуральном ряде, которые приводились в начале этой темы, также дают оценки более сильные, чем гипотеза Римана, поэтому они также справедливы с вероятностью меньше 1.

[vicvolf]

Теперь продолжим разговор о распределении простых чисел в арифметической прогрессии.

Сообщение от 27.03.15 содержит неточности.

Формула (26) верна при $x$ стремящемся к бесконечности. Вопрос заключается в равномерности выполнения формулы (26) при больших $k$, растущих одновременно с $x$.

Известно, что формула (26) выполняется равномерно для всех $k<\ln^N(x)$ (теорема Siegel-Walfisz), почти для всех $k<x^{1/2}/\ln^{2+\varepsilon}(x)$ и всех $k,l= 1$ (теорема Bombieri-Vinogradov) и почти всех $k<x/\ln^{2+\varepsilon}(x)$ и почти всех $k,l= 1$ (теорема Barban-Davenport-Halberstam), где $N$ - сколь угодно большое положительное число и $\varepsilon>0$.

Рассмотрим более подробно теорему Bombieri-Vinogradov (Прахар, стр. 477, Теорема 7).
$\pi(x,k,l)=Li(x)/\varphi(k)[1+O(\ln^c(x)/\ln^a(k))]$ (30)
для всех $(l,k)=1$ и $k$ из интервала $[M,2M]$ за исключением не более $M/\ln^{ca}(M)$ модулей, при условии $M<x^{1/2}/\ln^{ca}(x)$.

Формулу (30) можно записать в виде:
$|\pi(x,k,l)-Li(x)/\varphi(k)|<B \cdot G(x,k,c,a)$, (31)
где постоянная $B>0$ и $G(x,k,c,a)=Li(x) \ln^c(x)/\varphi(k)\ln^{a}(k)$.

Количество модулей на интервале $[M,2M]$ равно $M$, поэтому доля исключаемых модулей равна $M/M\ln^{ca}(M)=1/\ln^{ca}(M)$.
Так как $M<x^{1/2}/\ln^{ca}(x)$, то доля исключаемых модулей равна:
$1/\ln^{ca}(M)>1/\ln^{ca}(x^{1/2}/\ln^{ca}(x)=1/[1/2\ln(x)-ca\ln\ln(x)]^{ca}$. (32)

Если $c>1, a>2$, то $ca=2+\varepsilon$, где $\varepsilon>0$, то (32) запишется в виде:
$1/\ln^{2+\varepsilon}(M)>1/[1/2\ln(x)-(2+\varepsilon)\ln\ln(x)]^{2+\varepsilon}$. (33)

На основании (33) доля исключаемых модулей при конечном значении $x$ не равна 0. Поэтому формула (31) выполняется с вероятностью меньше 1, что вполне соответствует третьей и четвертой вероятностным моделям распределения простых чисел в арифметической прогрессии, приведенным раннее в данной теме.

[vicvolf]

Гренвилле в своей работе https://www.dartmouth.edu/~chance/chanc ... cramer.pdf пишет, что каждую гипотезу о распределении простых чисел и в том числе гипотезу Харди-Литлвуда о простых k-кортежах надо рассматривать в свете идей Майера http://projecteuclid.org/download/pdf_1 ... 1029003189.

Например, что отклонение фактического количества $k$-кортежей от рассчитанного на основании формул гипотезы Харди-Литлвуда для определенных $k$-кортежей значительно. Поэтому оценку данного отклонения можно выполнять только с определенной вероятностью в зависимости от вида $k$-кортежа и данная вероятность меньше 1.
Данный вероятностный подход приведен в этой теме в пятой и шестой вероятностных моделях.

Аналогичное справедливо для гипотезы Бейтмана-Хорна.

Пусть для многочлена $f_1(n)=a^{h_1}_{h_1}n+...+a_1n+a_0$ выполняются все условия гипотезы Бейтмана-Хорна.
Если $a_{h_1}=...=a_2=0$, тогда $f_1(n)=a_1n+a_0$ (34)- арифметическая прогрессия.
Предположим $(a_1,a_0)=1$, тогда для (34) выполняется:
$\pi(x,a_1,a_0) \sim Li(x)/\varphi(a_1)$,(35) т.е. $C(f_1)=1/\varphi(a_1)$ в гипотезе Бейтмана-Хорна.
При условиях теоремы Bombieri-Vinogradov формула (31) для отклонения (35) выполняется только с вероятностью меньше 1.

Можно предположить, что аналогичное будет в случае, когда старшие коэффициенты в многочлене $f(n)$ отличны от 0 и в некоторых случаях будут справедливы только вероятностные оценки для отклонения в гипотезе Бейтмана-Хорна с вероятностью меньше 1. Данный подход был реализован в седьмой вероятностной модели, приведенной в этой теме.

[vicvolf]

Вернемся к вопросу вероятностной оценки точности распределения простых чисел в натуральном ряде.
Этому вопросу были посвящены первая и вторая (модель Крамера) вероятностные модели, рассмотренные в данной теме.

Сравним следующие показатели точности указанных моделей и гипотезы Римана:
- значение $x$;
- количество простых чисел, не превосходящих значение $x$ - $\pi(x)$;
- целое значение разности значений $[Li(x)|-\pi(x)]$;
- целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $[\sqrt{Li(x)-Li^2(x)/x}]$;
- целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели - $[\sqrt{Li(x)-\int_{2}^{x}{dt/\ln^2(t)}]$;
- целое значение максимального отлонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана - $[\sqrt{x}\ln(x)/8\pi]$.

Значение $x=10^8$, количество простых чисел, не превосходящих значение $x$ - $\pi(x)=5761455$, целое значение разности значений $[Li(x)|-\pi(x)]=754$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $2330$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$2329$, целое значение максимального отлонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана -$7333$.

Значение $x=10^9$, количество простых чисел, не превосходящих значение $x$ - $\pi(x)=50847534$, целое значение разности значений $[Li(x)|-\pi(x)]=1701$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $7091$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$7089$, целое значение максимального отлонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана -$26087$.

Значение $x=10^{10}$, количество простых чисел, не превосходящих значение $x$ - $\pi(x)=455052511$, целое значение разности значений $[Li(x)|-\pi(x)]=3104$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $20841$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$20839$, целое значение максимального отлонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана -$91663$.

Значение $x=10^{11}$, количество простых чисел, не превосходящих значение $x$ - $\pi(x)=4118054813$, целое значение разности значений $[Li(x)|-\pi(x)]=11588$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $62836$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$62834$, целое значение максимального отлонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана -$318851$.

Значение $x=10^{12}$, количество простых чисел, не превосходящих значение $x$ - $\pi(x)=37607912018$, целое значение разности значений $[Li(x)|-\pi(x)]=38263$, целое значение среднеквадратичного отклонения для первой вероятностной модели - $190246$, целое значение среднеквадратичного отклонения для второй вероятностной модели -$190239$, целое значение максимального отлонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана -$1099961$.

Обратим внимание:
1. Целое значение разности значений $[Li(x)|-\pi(x)]$ сравнительно небольшое и укладывается в одно значение среднеквадратичного отклонения первой и второй вероятностной модели.
2. Целые значения среднеквадратичного отклонения для первой и второй (модель Крамера) вероятностной модели практически равны, хотя в модели Крамера делается эвристическая предпосылка, что вероятность большого значения $x$ быть простым равна $1/\ln(x)$, а в первой вероятностной модели используется доказанное утверждение, что вероятность выбрать наугад простое число из натуральных чисел, не превосходящих $x$ равна $Li(x)/x$.
3. Целое значение максимального отклонения $\pi(x)$ от $Li(x)$ по гипотезе Римана значительно больше целых значений среднеквадратичных отклонений первой и второй вероятностной модели.

[vicvolf]

Идею вероятностных методов хорошо объяснил Крамер: "В рассуждениях, связанных с асимптотическими свойствами арифметических функций, часто возможно следующее интересное применение вероятностных рассуждений. Если, например, мы интересуемся распределением данной последовательности $S$ целых чисел, то рассматриваем $S$ как элемент бесконечного класса $C$ последовательностей, которые можно конкретно интерпретировать как возможные реализации некоторой игры случая. Тогда во многих случаях можно доказать, что с вероятностью равной 1, некоторое соотношение $R$ выполняется в $C$, или в точном математическом смысле "почти все" последовательности из $C$ удолетворяют $R$. Конечно, мы не можем, вообще говоря, заключить, что $R$ выполняется для каждой последовательности $S$, но результаты предсказанные этим методом, иногда могут быть строго доказаны другими методами."

Именно так надо интерпретировать полученные мною результаты в отношении количества членов в подпоследовательности натурального ряда, которая является арифметической функцией.

Таким образом, следуя подходу Крамера на основании первой и второй вероятностной модели распределения простых чисел в натуральном ряде, можно считать, что разность значений между фактическим количеством простых чисел, не превышающем $x$, и рассчитанным по формуле $Li(x)$ имеет нормальное распределение.

Аналогично на основании третьей и четвертой вероятностной модели распределения простых чисел в арифметической прогрессии $kn+l,(k,l)=1$, можно считать, что разность значений между фактическим количеством простых чисел, не превышающем $x$, и рассчитанным по формуле $Li(x)/\varphi(k)$ имеет нормальное распределение.

Также на основании вероятностной модели распределения простых $k$-кортежей в натуральном ряде, можно считать, что разность значений между фактическим количеством простых $k$-кортежей в натуральном ряде, не превышающем $x$, и рассчитанным на основании гипотезы Харди-Литлвуда имеет нормальное распределение.

Аналогично на основании вероятностной модели распределения натуральных чисел, при которых многочлены принимают простые значения, можно считать, что разность значений между фактическим количеством таких натуральных чисел, не превышающем $x$, и рассчитанным на основании гипотезы Бейтмана-Хорна имеет нормальное распределение.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1009501 писал(а):

можно считать, что разность значений между фактическим количеством простых $k$-кортежей в натуральном ряде, не превышающем $x$, и рассчитанным на основании гипотезы Харди-Литлвуда имеет нормальное распределение.

vicvolf
Не могли бы Вы прокомментировать один момент. Предположим, случилось невероятное и мы обнаружили, что справедлива не первая, а вторая гипотеза Харди-Литлвуда. Каким образом это может сказаться на выводах полученной вероятностной модели? Если возможны различные варианты, то какой из них наиболее вероятен с Вашей точки зрения?
Моя интуиция пребывает по этому вопросу в густом бессловесном тумане и было бы очень интересно услышать (пусть частное) мнение специалиста, который интересовался этими вопросами намного больше и глубже меня.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1009550 писал(а):

Предположим, случилось невероятное и мы обнаружили, что справедлива не первая, а вторая гипотеза Харди-Литлвуда. Каким образом это может сказаться на выводах полученной вероятностной модели? Если возможны различные варианты, то какой из них наиболее вероятен с Вашей точки зрения?

1. Указанные гипотезы посвящены разным вопросам. Первая - количеству простых $k$- кортежей, вторая - некоторым соотношениям в количестве простых чисел.
2. Вторая гипотеза опровергнута, но первая до сих пор не доказана, поэтому нельзя говорить о ее справедливости.
3. Закон о простых числах, первая гипотеза Харди-Литлвуда и.т.д. дают только асимптотические оценки. Они не дают оценки на конечных интервалах натурального ряда. Я думаю, что такие оценки лучше проводить вероятностными методами, что я и делаю.
4. Поэтому, если была бы доказана не справедливость первой гипотезы Харди-Литлвуда, то в мооих оценках ничего бы не изменилость, ведь они вероятностные. Это как раз является преимуществом вероятностных оценок.

[grizzly]

vicvolf
Спасибо за мнение, но по п.2 Вы, надо полагать, погорячились -- вторая гипотеза пока ещё не опровергнута.