Многочлен

[neo66]

А чем это не строго? Мне казалось, я все уже расписал. Кстати, есть какие нибудь идеи насчет первой задачи?

[Профессор Снэйп]

neo66 писал(а):

А чем это не строго?

Ну, не знаю. Непрерывность, монотонное возрастание --- всё это прописывать нужно. Это ведь "качественное" решение: если его записывать "количественно", то всякие эпсилон-дельты полезут.

Может, конечно, и достаточно строго. Но у меня было 2 варианта того, что писать: Ваш и тот, который был написан. Я выбрал второй, решив, что это строже и короче. Может я и не прав.

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

А что, там же ещё первая задача есть! Точно!! Вот что значит ветки с конца читать

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Пусть

$$p(z)=\prod_{k=1}^n(z-z_k),$$

где $|z_k|=1$ для всех $k$.
1) Докажите, что $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|\geqslant2$.
2) Докажите, что если $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|=2$, то $p(z)=z^n+a_0$

Пробовал рассматривать многочлены

\[ q_a(z) = \frac{a^n p(z/a) + p(az)}{a^n+1} = \frac{1}{a^n+1} \left( \prod_{k=1}^n (z - az_k) + \prod_{k=1}^n (az - z_k) \right) \]

при действительных $a > 0$. Легко доказать, что все корни этих многочленов лежат на единичной окружности (симметрия относительно окружности, по сути, мало чем отличается от симметрии относительно прямой). Почему-то мне кажется, что $\max \{ |q_a(z)| : |z| = 1 \} \leqslant \max \{ |p(z)| : |z| = 1 \}$, хотя доказать это не получается. Если бы это удалось доказать, то задача была бы решена.

Подскажите хоть, на правильном ли я пути?

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

Подскажите хоть, на правильном ли я пути?

Извините, что долго не отвечал: по техническим причинам не было доступа к форуму. Не знаю, правильный ли это путь, но моё решение (очень короткое) основано на другой идее (комплан рулит...)

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Подскажите хоть, на правильном ли я пути?

Извините, что долго не отвечал: по техническим причинам не было доступа к форуму. Не знаю, правильный ли это путь, но моё решение (очень короткое) основано на другой идее (комплан рулит...)

С возвращением!!!

С этой задачей я уже давно сдался после того, как убил на неё уйму времени. На том пути ничего не получилось. Пробовал ещё рассматривать интеграл по окружности от $\ln |p(z)|$, доказал, что он равен нулю. Ну и что? По теореме о среднем отсюда на окружности можно найти $z_0$, для которого $|p(z_0)| \geqslant 1$, но нужна ведь не единица, а двойка! Думал также о том, куда приткнуть принцип максимума --- ничего не придумал.

Короче, комплан может и рулит, но похоже, что я в нём не рулю Кстати, я слово "комплан" впервые узнал на этом форуме и после некоторых размышлений пришёл в выводу, что это то, что у нас называлось ТФКП

Если Вас не затруднит, пришлите мне идею решения в ЛС. Прочитаю и устыжусь

[TOTAL]

RIP писал(а):

Пусть

$$p(z)=\prod_{k=1}^n(z-z_k),$$

где $|z_k|=1$ для всех $k$.
1) Докажите, что $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|\geqslant2$.
2) Докажите, что если $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|=2$, то $p(z)=z^n+a_0$

Надо доказать, что

$$2^n max\left| \prod sin(x-x_k) \right| \ge 2$$

Док-во:

$$max\left| \prod sin(x-x_k) \right| = 2^{1-n} max\left|sin(nx)+p(x) \right| \ge 2^{1-n} max\left|sin(nx) \right|=2^{1-n}$$

Последнее нер-во следует из того, что тригонометрический полином $p(x)$
меняет знак менее $2n$ раз (на каждых $2\pi$), т.к. его степень меньше $n$.

[Профессор Снэйп]

Ничего не понял.

Для начала хотелось бы понять, откуда берётся переформулировка задачи:

TOTAL писал(а):

Надо доказать, что

$$2^n max\left| \prod sin(x-x_k) \right| \ge 2$$

В условии фигурировали комплексные числа $z_k$, а тут какие-то $x_k$. Что это за числа? Верно ли, что $x_k = z_k$ или тут какая-то более сложная зависимость?

И максимум для каких $x$ берётся? По всем $x \in \mathbb{R}$? Или по всем $x \in \mathbb{C}$, таким что $|x|=1$? Или как-то ещё по другому?

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

Ничего не понял.

Для начала хотелось бы понять, откуда берётся переформулировка задачи:

TOTAL писал(а):

Надо доказать, что

$$2^n max\left| \prod sin(x-x_k) \right| \ge 2$$

$z=e^{2ix}, z_k=e^{2ix_k}, \left|z-z_k\right|= \left| 2 sin(x-x_k) \right|$
Из-за периодичности максимум берется по всем $x$

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

$z=e^{2ix}, z_k=e^{2ix_k}, \left|z-z_k\right|= \left| 2 sin(x-x_k) \right|$

Ну хорошо, $x_k = \mathrm{Arg}(z_k)/2$.

Теперь поясните равенство

$$\max_{x \in [0, \pi)}\left| \prod_{k=1}^n \sin(x-x_k) \right| = 2^{1-n} \max_{x \in [0,\pi)}\left|\sin(nx)+p(x) \right|$$

мне оно тоже непонятно.

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

Теперь поясните равенство

$$\max_{x \in [0, \pi)}\left| \prod_{k=1}^n \sin(x-x_k) \right| = 2^{1-n} \max_{x \in [0,\pi)}\left|\sin(nx)+p(x) \right|$$

мне оно тоже непонятно.

1) Ввиду периодичности максимум можно находить по всем $x$
2) Равенство получается многократным применением формулы типа

$$\sin(x)\sin(y)= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$$

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

2) Равенство получается многократным применением формулы типа

$$\sin(x)\sin(y)= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$$

Нельзя ли подробнее?

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

TOTAL писал(а):

2) Равенство получается многократным применением формулы типа

$$\sin(x)\sin(y)= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$$

Нельзя ли подробнее?

Избавьтесь от произведений, например, в

$$\sin(x-x_1)\sin(x-x_2)\sin(x-x_2)$$

,
приведите результат и скажите точно, что непонятно.

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Избавьтесь от произведений, например, в

$$\sin(x-x_1)\sin(x-x_2)\sin(x-x_2)$$

,
приведите результат и скажите точно, что непонятно.

В

$$ \sin(x-x_1)\sin(x-x_2)\sin(x-x_3) $$

Вы хотели сказать?

Хватит делать из людей идиотов! Думаете, это очень интересно --- разгадывать Ваши шарады?! Все нормальные люди пишут решения полностью, со всеми выкладками, чтобы их можно было проверить. У Вас же как будто стоит задача --- ещё больше их запутать. Надо всё-таки проявлять хоть какое-то уважение к собеседникам.

Вы себя ведёте так, как будто Вы безупречны и никогда не допускаете ошибок. Однако Вас уже один раз ткнули носом в одну из них!

TOTAL писал(а):

fadetoblack писал(а):

просто я бы если честно очень хотел увидеть решение первой задачи .. понятное решение

125+136+145+246+234+356=1242
Понятно, что меньше нельзя.

Neqyau писал(а):

TOTAL писал(а):

Понятно, что меньше нельзя.

Можно:
$ 123 + 134 + 136 + 145 + 156 + 235 + 246 = 1175 $

Может, стоило извлечь какой-то урок из этого?

В последний раз пойду у Вас на поводу.

$$\sin (x - x_1) \sin (x - x_2) \sin (x - x_3) =$$

$$\frac{1}{4} \Big( \sin (x+x_1-x_2-x_3) + \sin ( x + x_2 - x_3 - x_1) +\sin ( x + x_3 - x_1 - x_2) + \sin (3x - x_1 - x_2 - x_3)\Big) $$

Что с этим делать, мне непонятно, и я не вижу, как из этого разложения следует равенство

$$ \max_{x \in \mathbb{R}} | \sin(x-x_1)\sin(x-x_2)\sin(x-x_3)| = $$

$$ \frac{1}{4} \max_{x \in \mathbb{R}} | \sin 3x + (x-e^{2\pi i x_1})(x-e^{2\pi i x_2})(x-e^{2\pi i x_3})| $$

Более того, для меня очевидно, что это равенство не верно, поскольку при $x$ стремящемся к бесконечности модуль в правой части стремится к бесконечности, а модуль в левой части не превосходит $1$.

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

$$\sin (x - x_1) \sin (x - x_2) \sin (x - x_3) =$$

$$\frac{1}{4} \Big( \sin (x+x_1-x_2-x_3) + \sin ( x + x_2 - x_3 - x_1) +\sin ( x + x_3 - x_1 - x_2) + \sin (3x - x_1 - x_2 - x_3)\Big) $$

Итак

$$\max\left| \sin(x - x_1) \sin(x - x_2) \sin(x - x_3) \right| =$$

$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (x+x_1-x_2-x_3) + \sin ( x + x_2 - x_3 - x_1) +\sin ( x + x_3 - x_1 - x_2) + \sin (3x - x_1 - x_2 - x_3)\Big) \right|=$$

$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (3x - x_1 - x_2 - x_3) + p_1(x) \Big) \right|=$$

$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right|$$

Здесь тригонометрический полином

$$ p_1(x)= \sin (x+x_1-x_2-x_3) + \sin ( x + x_2 - x_3 - x_1) +\sin ( x + x_3 - x_1 - x_2)\right|$$

, как было сказано сразу, имеет степень меньше 3.
Переход к

$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right|$$

сделан путем сдвига переменной, по которой находится максимум. Тригонометрический полином $ p_2(x)$ имеет такую же степень, что и $ p_1(x)$.
Полином $ p_2(x)$ имеет менее 6 корней на отрезке длиной $2 \pi$, поэтому

$$ \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right| \ge \max \left| \Big( \sin (3x) \Big) \right|=1$$

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Итак

$$\max\left| \sin(x - x_1) \sin(x - x_2) \sin(x - x_3) \right| =$$

...

$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right|$$

...

$$ \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right| \ge \max \left| \Big( \sin (3x) \Big) \right|=1$$

Позвольте, но это же явный абсурд! Получается, что

$$\max\left| \sin(x - x_1) \sin(x - x_2) \sin(x - x_3) \right| \geqslant 4$$

Или в военное время значение синуса может достигать четырёх?

Добавлено спустя 13 минут 35 секунд:

Н-да, вообще-то не 4, а 1/4. Буду думать...