2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение24.12.2007, 18:59 
Заслуженный участник


14/01/07
787
А чем это не строго? Мне казалось, я все уже расписал. Кстати, есть какие нибудь идеи насчет первой задачи?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2007, 19:08 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
neo66 писал(а):
А чем это не строго?


Ну, не знаю. Непрерывность, монотонное возрастание --- всё это прописывать нужно. Это ведь "качественное" решение: если его записывать "количественно", то всякие эпсилон-дельты полезут.

Может, конечно, и достаточно строго. Но у меня было 2 варианта того, что писать: Ваш и тот, который был написан. Я выбрал второй, решив, что это строже и короче. Может я и не прав.

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

А что, там же ещё первая задача есть! Точно!! Вот что значит ветки с конца читать :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение08.01.2008, 10:03 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
RIP писал(а):
Пусть
$$p(z)=\prod_{k=1}^n(z-z_k),$$
где $|z_k|=1$ для всех $k$.
1) Докажите, что $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|\geqslant2$.
2) Докажите, что если $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|=2$, то $p(z)=z^n+a_0$


Пробовал рассматривать многочлены

\[
q_a(z) = \frac{a^n p(z/a) + p(az)}{a^n+1} = \frac{1}{a^n+1} \left( \prod_{k=1}^n (z - az_k) + \prod_{k=1}^n (az - z_k) \right)
\]

при действительных $a > 0$. Легко доказать, что все корни этих многочленов лежат на единичной окружности (симметрия относительно окружности, по сути, мало чем отличается от симметрии относительно прямой). Почему-то мне кажется, что $\max \{ |q_a(z)| : |z| = 1 \} \leqslant \max \{ |p(z)| : |z| = 1 \}$, хотя доказать это не получается. Если бы это удалось доказать, то задача была бы решена.

Подскажите хоть, на правильном ли я пути?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2008, 04:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Профессор Снэйп писал(а):
Подскажите хоть, на правильном ли я пути?

Извините, что долго не отвечал: по техническим причинам не было доступа к форуму. Не знаю, правильный ли это путь, но моё решение (очень короткое) основано на другой идее (комплан рулит...)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2008, 07:45 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
RIP писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
Подскажите хоть, на правильном ли я пути?

Извините, что долго не отвечал: по техническим причинам не было доступа к форуму. Не знаю, правильный ли это путь, но моё решение (очень короткое) основано на другой идее (комплан рулит...)


С возвращением!!!

С этой задачей я уже давно сдался после того, как убил на неё уйму времени. На том пути ничего не получилось. Пробовал ещё рассматривать интеграл по окружности от $\ln |p(z)|$, доказал, что он равен нулю. Ну и что? По теореме о среднем отсюда на окружности можно найти $z_0$, для которого $|p(z_0)| \geqslant 1$, но нужна ведь не единица, а двойка! Думал также о том, куда приткнуть принцип максимума --- ничего не придумал.

Короче, комплан может и рулит, но похоже, что я в нём не рулю :) Кстати, я слово "комплан" впервые узнал на этом форуме и после некоторых размышлений пришёл в выводу, что это то, что у нас называлось ТФКП :)

Если Вас не затруднит, пришлите мне идею решения в ЛС. Прочитаю и устыжусь :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение25.02.2008, 06:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
RIP писал(а):
Пусть
$$p(z)=\prod_{k=1}^n(z-z_k),$$
где $|z_k|=1$ для всех $k$.
1) Докажите, что $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|\geqslant2$.
2) Докажите, что если $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|=2$, то $p(z)=z^n+a_0$

Надо доказать, что
$$2^n max\left| \prod sin(x-x_k) \right| \ge 2$$

Док-во:
$$max\left| \prod sin(x-x_k) \right| = 2^{1-n} max\left|sin(nx)+p(x) \right| \ge  2^{1-n} max\left|sin(nx) \right|=2^{1-n}$$
Последнее нер-во следует из того, что тригонометрический полином $p(x)$
меняет знак менее $2n$ раз (на каждых $2\pi$), т.к. его степень меньше $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение25.02.2008, 08:57 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ничего не понял.

Для начала хотелось бы понять, откуда берётся переформулировка задачи:

TOTAL писал(а):
Надо доказать, что
$$2^n max\left| \prod sin(x-x_k) \right| \ge 2$$


В условии фигурировали комплексные числа $z_k$, а тут какие-то $x_k$. Что это за числа? Верно ли, что $x_k = z_k$ или тут какая-то более сложная зависимость?

И максимум для каких $x$ берётся? По всем $x \in \mathbb{R}$? Или по всем $x \in \mathbb{C}$, таким что $|x|=1$? Или как-то ещё по другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение25.02.2008, 09:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Профессор Снэйп писал(а):
Ничего не понял.

Для начала хотелось бы понять, откуда берётся переформулировка задачи:

TOTAL писал(а):
Надо доказать, что
$$2^n max\left| \prod sin(x-x_k) \right| \ge 2$$

$z=e^{2ix}, z_k=e^{2ix_k}, \left|z-z_k\right|= \left| 2 sin(x-x_k) \right|$
Из-за периодичности максимум берется по всем $x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение25.02.2008, 10:41 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
TOTAL писал(а):
$z=e^{2ix}, z_k=e^{2ix_k}, \left|z-z_k\right|= \left| 2 sin(x-x_k) \right|$


Ну хорошо, $x_k = \mathrm{Arg}(z_k)/2$.

Теперь поясните равенство

$$\max_{x \in [0, \pi)}\left| \prod_{k=1}^n \sin(x-x_k) \right| = 2^{1-n} \max_{x \in [0,\pi)}\left|\sin(nx)+p(x) \right|$$

мне оно тоже непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение25.02.2008, 11:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Профессор Снэйп писал(а):
Теперь поясните равенство

$$\max_{x \in [0, \pi)}\left| \prod_{k=1}^n \sin(x-x_k) \right| = 2^{1-n} \max_{x \in [0,\pi)}\left|\sin(nx)+p(x) \right|$$

мне оно тоже непонятно.

1) Ввиду периодичности максимум можно находить по всем $x$
2) Равенство получается многократным применением формулы типа
$$\sin(x)\sin(y)= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение25.02.2008, 11:35 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
TOTAL писал(а):
2) Равенство получается многократным применением формулы типа
$$\sin(x)\sin(y)= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$$


Нельзя ли подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение26.02.2008, 08:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Профессор Снэйп писал(а):
TOTAL писал(а):
2) Равенство получается многократным применением формулы типа
$$\sin(x)\sin(y)= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$$


Нельзя ли подробнее?

Избавьтесь от произведений, например, в $$\sin(x-x_1)\sin(x-x_2)\sin(x-x_2)$$,
приведите результат и скажите точно, что непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение26.02.2008, 09:47 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
TOTAL писал(а):
Избавьтесь от произведений, например, в $$\sin(x-x_1)\sin(x-x_2)\sin(x-x_2)$$,
приведите результат и скажите точно, что непонятно.


В

$$
\sin(x-x_1)\sin(x-x_2)\sin(x-x_3)
$$

Вы хотели сказать?

Хватит делать из людей идиотов! Думаете, это очень интересно --- разгадывать Ваши шарады?! Все нормальные люди пишут решения полностью, со всеми выкладками, чтобы их можно было проверить. У Вас же как будто стоит задача --- ещё больше их запутать. Надо всё-таки проявлять хоть какое-то уважение к собеседникам.

Вы себя ведёте так, как будто Вы безупречны и никогда не допускаете ошибок. Однако Вас уже один раз ткнули носом в одну из них!

TOTAL писал(а):
fadetoblack писал(а):
просто я бы если честно очень хотел увидеть решение первой задачи .. понятное решение

125+136+145+246+234+356=1242
Понятно, что меньше нельзя.


Neqyau писал(а):
TOTAL писал(а):
Понятно, что меньше нельзя.

Можно:
$ 123 + 134 + 136 + 145 + 156 + 235 + 246 = 1175 $


Может, стоило извлечь какой-то урок из этого?

В последний раз пойду у Вас на поводу.

$$\sin (x - x_1) \sin (x - x_2) \sin (x - x_3) =$$

$$\frac{1}{4} \Big( \sin (x+x_1-x_2-x_3) + \sin ( x + x_2 - x_3 - x_1) +\sin ( x + x_3 - x_1 - x_2) + \sin (3x - x_1 - x_2 - x_3)\Big)
$$

Что с этим делать, мне непонятно, и я не вижу, как из этого разложения следует равенство

$$
\max_{x \in \mathbb{R}} | \sin(x-x_1)\sin(x-x_2)\sin(x-x_3)| =
$$

$$
\frac{1}{4} \max_{x \in \mathbb{R}} | \sin 3x + (x-e^{2\pi i x_1})(x-e^{2\pi i x_2})(x-e^{2\pi i x_3})|
$$

Более того, для меня очевидно, что это равенство не верно, поскольку при $x$ стремящемся к бесконечности модуль в правой части стремится к бесконечности, а модуль в левой части не превосходит $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение26.02.2008, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Профессор Снэйп писал(а):
$$\sin (x - x_1) \sin (x - x_2) \sin (x - x_3) =$$
$$\frac{1}{4} \Big( \sin (x+x_1-x_2-x_3) + \sin ( x + x_2 - x_3 - x_1) +\sin ( x + x_3 - x_1 - x_2) + \sin (3x - x_1 - x_2 - x_3)\Big)
$$

Итак
$$\max\left| \sin(x - x_1) \sin(x - x_2) \sin(x - x_3) \right| =$$
$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (x+x_1-x_2-x_3) + \sin ( x + x_2 - x_3 - x_1) +\sin ( x + x_3 - x_1 - x_2) + \sin (3x - x_1 - x_2 - x_3)\Big) \right|=$$
$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (3x - x_1 - x_2 - x_3) + p_1(x) \Big) \right|=$$
$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right|$$
Здесь тригонометрический полином
$$ p_1(x)= \sin (x+x_1-x_2-x_3) + \sin ( x + x_2 - x_3 - x_1) +\sin ( x + x_3 - x_1 - x_2)\right|$$, как было сказано сразу, имеет степень меньше 3.
Переход к
$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right|$$
сделан путем сдвига переменной, по которой находится максимум. Тригонометрический полином $ p_2(x)$ имеет такую же степень, что и $ p_1(x)$.
Полином $ p_2(x)$ имеет менее 6 корней на отрезке длиной $2 \pi$, поэтому
$$ \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right| \ge \max \left| \Big( \sin (3x) \Big) \right|=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен
Сообщение26.02.2008, 12:07 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
TOTAL писал(а):
Итак
$$\max\left| \sin(x - x_1) \sin(x - x_2) \sin(x - x_3) \right| =$$
...
$$\frac{1}{4} \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right|$$

...

$$ \max \left| \Big( \sin (3x) + p_2(x) \Big) \right| \ge \max \left| \Big( \sin (3x) \Big) \right|=1$$


Позвольте, но это же явный абсурд! Получается, что

$$\max\left| \sin(x - x_1) \sin(x - x_2) \sin(x - x_3) \right| \geqslant 4$$

Или в военное время значение синуса может достигать четырёх? :)

Добавлено спустя 13 минут 35 секунд:

Н-да, вообще-то не 4, а 1/4. Буду думать...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group