Квантовая механика без волновых функций

[Утундрий]

Обсуждалась ли на этом форуме вот такая вот штучка: http://arxiv.org/abs/1201.2382 ? Поиском, вроде, не находит.

[Prikol]

Утундрий в сообщении #1026849 писал(а):

Обсуждалась ли на этом форуме вот такая вот штучка: http://arxiv.org/abs/1201.2382 ? Поиском, вроде, не находит.

1. На форуме я обсуждения подобных штучек не видел, хотя несколько раз дискуссии как бы приближались к этим идеям, но потом по касательной уходили в другую сторону.
2. Идея сама по себе тривиальна. ЛЛ-3 параграф 19 - Плотность потока в сущности о том же, но у ЛЛ это очень поверхностно.
3. Название препринта очень плохое. Этот метод вовсе не отказывается от волновой функции, а просто строит на ее основе другое представление для состояния системы - как бы траекторное.
4. Авторы препринта вовсе не авторы "Штучки". После того, как траектории Бома гавкнулись, Holland придумал свои траектории, хотя все это уже витало в воздухе и бродило призраком.
5. На Западе есть уже несколько монографий по этому методу и масса статей. Но особого тренда в этом я например не вижу. Это те же шары, но вид сбоку.
6. Фраза авторов препринта про spin-free - это болтология. Просто у них нерелятивистский случай. Если они газанут и поднимут скорость, то либо им придется вводить спин, либо их штучка гавкнется.

[Sicker]

(Оффтоп)

Я слышал в программе Гордона о какой-то рязановской формулировке квантмеха без волновых функций...

[V_V_V]

Понятие волновой функции - это рудимент описания квантовой реальности Шредингером. Согласно Дираку, состояние квантовой системы - это вектор гильбертова пространсва.

[doom701]

Волновая функция для квантовой механики это святая святых. Это равно обсуждению СТО без постоянства скорости света.

[matidiot]

Есть ещё метод матрицы плотности, когда волновая функция вообще не упоминается. С вычислительной точки зрения этот метод позволяет, например, для N-электронной системы ограничиться одно- и двухэлектронными матрицами плотности, которые зависят соответственно от трех и шести координат вместо 3N-координатной волновой функции.

[Munin]

Не надо путать матрицу плотности и функционал плотности.

Метод матрицы плотности - не только позволяет любые вычисления с волновыми функциями, но и более мощен: он позволяет описывать смешанные состояния, которые одной волновой функцией не задать.

Метод функционала плотности - наоборот, содержит меньше информации, чем волновая функция, но вычислительно более выгоден.

[Утундрий]

Здесь, почему-то, особое внимание уделяется соответствию

$$\[ \begin{gathered} L = \frac{1} {2}m\dot x^2 - V\left( x \right) - Q\left( {\dot x,\ddot x,\dddot x...} \right) \hfill \\ E = \frac{1} {2}m\dot x^2 + V\left( x \right) + Q\left( {\dot x,\ddot x,\dddot x...} \right) \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Да, это накладывает на $Q$ ряд ограничений и простейшее удовлетворяющее им решение оказывается правильным выражением для т.н. "квантового потенциала". Однако, если отвлечься от вышеупомянутого "чудесного совпадения", какой может быть у данного условия смысл?

[npduel]

V_V_V в сообщении #1027802 писал(а):

Понятие волновой функции - это рудимент описания квантовой реальности Шредингером. Согласно Дираку, состояние квантовой системы - это вектор гильбертова пространсва.

Согласно тому же Дираку (уравнению Дирака) электрон описывается спинорной волновой функцией.

[Утундрий]

Продолжаю потихоньку разгребать муравейник сей. Взять к примеру лагранжиан. Коль уж он $L\left( {x,\dot x,\ddot x,\dddot x...} \right)$, то $\delta \int {Ldt} = 0 \; \Leftrightarrow \; L_x - \left( {L_{\dot x} } \right)^. + \left( {L_{\ddot x} } \right)^{..} - \left( {L_{\dddot x} } \right)^{...} + ...=0$. Поскольку имеется инвариантность к сдвигу времени, то должна сохраняться какая-то энергия. Найдём её, вычисляя $\dot L = L_x \dot x + L_{\dot x} \ddot x + L_{\ddot x} \dddot x + ...$ Сперва избавимся от ${\dot x}$. Для этого "дифференцированием по частям" выделим полную производную в первом слагаемом $\dot L = \left( {p_1 \dot x} \right)^. - p_1 \ddot x + L_{\dot x} \ddot x + L_{\ddot x} \dddot x + ...$, где введено обозначение $p_1 \equiv L_{\dot x} - \left( {L_{\ddot x} } \right)^. + \left( {L_{\dddot x} } \right)^{..} - ...$ с помощью которого уравнение для экстремалей записывается в краткой форме $L_x = \dot p_1 $. На этом этапе имеем $0 = \left( { - L + p_1 \dot x} \right)^. + \left( {L_{\dot x} - p_1 } \right)\ddot x + L_{\ddot x} \dddot x + ...$ Теперь заметим, что коэффициент при ${\ddot x}$ тоже имеет вид полной производной $L_{\dot x} - p_1 = \dot p_2 $, где обозначено $p_2 \equiv L_{\ddot x} - \left( {L_{\dddot x} } \right)^. + ...$ Продолжая в том же духе, окончательно получим $\left( { - L + p_1 \dot x + p_2 \ddot x + ...} \right)^. = 0$ Итак, выражение для энергии получилось следующим

$$E = - L + p_1 \dot x + p_2 \ddot x + p_3 \dddot x + ...$$

где

$$\begin{gathered} p_1 \equiv L_{\dot x} - \left( {L_{\ddot x} } \right)^. - \left( {L_{\dddot x} } \right)^{..} + ... \hfill \\ p_2 \equiv L_{\ddot x} - \left( {L_{\dddot x} } \right)^. + ... \hfill \\ p_3 \equiv L_{\dddot x} - ... \hfill \\ \end{gathered} $$

В принципе, тут можно было бы остановиться и перейти к отысканию $Q$, допустимых нашим загадочным условием (см. выше). Но мне захотелось посмотреть - не будет ли здесь какой-нибудь гамильтоновой формы? Интернет был далеко, ручка с бумагой, наоборот, близко и я решил употребить наличествующее на благое дело удовлетворения пустого любопытства. И вот чего я нашёл.

Обозначим $x_1 \equiv x \; , x_2 \equiv \dot x \; , x_3 \equiv \ddot x \; , ...$ Это даст привычное $E = - L + p_1 \dot x_1 + p_2 \dot x_2 + ...$, которое так же можно переписать в виде $E = - L + p_1 x_2 + p_2 x_3 + ...$ Пользуясь попеременно двумя этими формами, получаем

$$dE = \dot x_1 dp_1 - \dot p_1 dx_1 + \dot x_2 dp_2 - \dot p_2 dx_2 + ...$$

То есть, система действительно гамильтонова, если только удаётся выразить все производные от $x$ через импульсы $p_i$. Условия разрешимости имеют вид $L_{\dot x\dot x} \ne 0, \; L_{\ddot x\ddot x} \ne 0,...$ и по крайней мере одно из них нарушается при попытке найти приведенное в статье $Q$. Так что это было гамильтонизирующее отступление. О результатах попытки найти $Q$ будет сообщено позднее.

[Утундрий]

А знаете, я видимо таки не понял основную идею. Вот начал сейчас отыскивать эти самые решения и внезапно отыскал для всех случаев. Хотя в статье клятвенно заверяется, что первое решение возможно только для $Q$ содержащих производные не ниже третьих.

[fraqix]

Цитата:

Квантовая механика без волновых функций

Этим никого не удивишь. Ещё в конце 90-ых была работа (см. обзор), где полностью убрали комплексность, отрицательность и представили квантовомеханические состояния (включая спин) как нормальные положительные плотности вероятности. Правда, для непрерывных переменных это далось ценой увеличения переменных на единицу, но потом удалось сделать и без этого -- см. эту и эту работы. Проблема в том, что описание получается технически слишком тяжёлым, и информатику поверх него не положишь, т.к. информатика требует вычислять фон-Неймановскую энтропию, которая легко считается только в обычном дираковском представлении с векторами состояний (информация -- мера смешанности системы).

[maximav]

Утундрий в сообщении #1031561 писал(а):

Но мне захотелось посмотреть - не будет ли здесь какой-нибудь гамильтоновой формы?

Это называется схема Остроградского. Как только есть лагранжиан, всегда есть и гамильтонова форма. Не ясно, что здесь нового для квантовой механики, коль скоро мы сразу попадаем в задачу квантования некоторой стандартной динамической системы. Эти ребята пишут "TIQM (timeIndepQuantMech) states can be represented uniquely with a single trajectory"... Я это с трудом понимаю и даже начинаю думать не альты ли они?

[DmitryZotev]

Квантовая механика в изложении Дирака действительно не рассматривает волновую функцию, как исходное понятие. Исходные - векторы состояний. Причем даже не обязательно в гильбертовом пространстве, хотя Дирак такой термин употребляет, не вкладывая в него строгий смысл (полноту нормы). Строго говоря, гильбертовы пространства получаются только в тривиальном случае, когда нет наблюдаемых с непрерывным спектром (импульсов например). А волновая функция по Дираку - всего лишь представитель вектора состояния в каком-нибудь представлении.

[madschumacher]

А вот такой вопрос: нет ли чего-то аналогичного (т.е. типа уравнения для "квантовой траектории", основанного, скажем, на уравнении Ланжевена, т.е. чтобы там стояла какая-нть случайная сила и какая-нть автокорреляционная функция с прошлыми позициями-скоростями?) более вычислительно-эффективного. Я просто знаю работу, в которой на основе обобщенного уравнения Ланжевена построили достаточно эффективный квантовый термостат для мол.динамики (https://www.researchgate.net/publication/26721388_Nuclear_Quantum_Effects_in_Solids_Using_a_Colored-Noise_Thermostat), вследствие чего удается получать траектории, воспроизводящие квантовые распределения. Но там во-первых куууууча подгоночных параметров, а во-вторых некоторые свойства эта штука все-таки не очень хорошо воспроизводит. Вот собственно, нет ли чего более фундаментального (без подгоночных параметров) и вычислительно-эффективного (будем считать расчет автокорр.функций для траектории незначительными выч. затратами).