Ах, Вам нужен пример, что возможно (почему то я прочел "обязательно"). Два примера
1) Вспомним следующее построение примера неизмеримого множества:
![$[0,1)$ $[0,1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/486df28d665737092878bfd9bc9d246582.png)
отождествляется с
![$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/c/44c1850d4216992e7557fc7cbca3759b82.png)
разбивается на счетное число подмножеств, каждое из которых получается из другого сдвигом. Тогда если эти множества измеримы или неизмеримы одновременно, и в первом случае их меры равны. Тогда, ескли их меры равны
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
то мера
![$[0,1)$ $[0,1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/486df28d665737092878bfd9bc9d246582.png)
будет
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
, а если меры
![$\mu>0$ $\mu>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/3/e53fc84ce9eedb701c882f516e597d3c82.png)
то мера
![$[0,1)$ $[0,1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/6/486df28d665737092878bfd9bc9d246582.png)
будет
![$\infty$ $\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/a/f7a0f24dc1f54ce82fecccbbf48fca9382.png)
(и это противоречие доказывает неизмеримость. Ясно, что ни одно из них не содержит подмножества положительной меры.
2) Пусть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
ограничено и неизмеримо, но у него есть подмножества положительной меры. Пусть
![$\mu$ $\mu$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/6/07617f9d8fe48b4a7b3f523d6730eef082.png)
супремум меры таких подмножеств. Тогда либо существует
![$B\subset A$ $B\subset A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/7/69700033652b2a48325b4884736d9f0582.png)
с
![$\mathsf{mes}(B)=\mu$ $\mathsf{mes}(B)=\mu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/5/fb56b24ba03b6ce325f7ed72a71463ab82.png)
, либо существуют
![$B_n\subset A$ $B_n\subset A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/a/46a7a0176cfd16b781868ce8d8e8b81e82.png)
т.ч.
![$\mathsf{mes}(B_n)\to \mu$ $\mathsf{mes}(B_n)\to \mu$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/c/66cad4f5dfd57421165db8a59fc0fe0082.png)
. Пусть во втором случае
![$B=\bigcup B_n$ $B=\bigcup B_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/5/2056315e32571d3a1a0a3f32f0b3a73b82.png)
. Тогда
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
измеримо и
![$\mathsf{mes}(B)=\mu$ $\mathsf{mes}(B)=\mu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/5/fb56b24ba03b6ce325f7ed72a71463ab82.png)
. Ясно, что
![$A \setminus B$ $A \setminus B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/1/0b19930c5027db836145388cb4e27c1482.png)
искомое множество