Матрица перехода от одного базиса (матричного) к другому.

[Don-Don]

Даны два базиса

$$B_c=\left\{ \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \\\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \\\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0& 0 \\ 1 &0 \\\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0& 1 \\\end{pmatrix}\right\}$$

и

$$B=\left\{\begin{pmatrix} 1&2 \\ 0&0 \\\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0&1 \\ 2&0 \\\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0& 0 \\ 1 &-1 \\\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0& 1 \\\end{pmatrix}\right\}$$

Найти матрицу перехода от базиса $B$ к $B_c$ и матрицу перехода от $B_c$ к $B$.

Я очень просто могу составить матрицу перехода от одного векторного базиса к другому. Но как быть с матричным базисом? Можете подсказать или посоветовать литературу? Нигде этого не нашел!

Только в карантин не отправляйте, пожалуйста, я готов все считать, любой подсказкой воспользоваться и прочитать где про это написано, а потом уже решение тут сам буду писать, просто нужен начальный пинок.

[mihailm]

Выразите первую матрицу из второго базиса в виде линейной комбинации матриц из первого базиса

[Don-Don]

Вот так?

$$\begin{pmatrix} 1&2 \\ 0&0 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \\\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \\\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0&1 \\ 2&0 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \\\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0&0 \\ 1&0 \\\end{pmatrix}$$

[Someone]

Don-Don в сообщении #1029306 писал(а):

Я очень просто могу составить матрицу перехода от одного векторного базиса к другому. Но как быть с матричным базисом?

Точно так же. У Вас есть два базиса $(\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3,\vec a_4)$ и $(\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3,\vec b_4)$, где $\vec a_1=\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ и так далее. Выражаете векторы одного базиса через векторы другого и записываете матрицу перехода.

Don-Don в сообщении #1029313 писал(а):

Вот так?

Да. Только обозначения для базисных векторов введите, а то запутаетесь.

[mihailm]

Don-Don в сообщении #1029313 писал(а):

Вот так?...

Остальные выразите и выписывайте первую матрицу.

[Munin]

Подсказка.

Матрица $2\times 2$ состоит из четырёх элементов: $\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\\\end{pmatrix}.$ Когда вы рассматриваете линейное пространство матриц, то взаимное расположение этих элементов (в виде квадратной таблички) не играет никакой роли. Тогда запишите их в строчку: $(m_{11},m_{12},m_{21},m_{22})$ - и вуаля! у вас простой вектор из четырёх компонент. В пространстве этих векторов у вас есть базисы $B_c,B,$ и вы можете легко найти матрицы преобразований от одного к другому. Матричность вас больше не будет отвлекать.