Точные квадраты

[Roman Kotyk]

а) Доказать, что существует такая натуральная тройка $a, b$ и $ c $, что $a+b+c, ab+bc+ca, a^2+b^2+c^2$ и $ abc $ являются точными квадратами натуральных чисел.
б) Исследовать на конечность множество таких РАЗЛИЧНЫХ троек, если тройка, получаемая из домножением на квадрат натурального числа другой тройки, считается эквивалентной ей

[scwec]

Такая тройка, например, находится среди чисел $mk, nk, mn$ - и это $136, 153, 72$.
С конечностью-бесконечностью пока не ясно.

[Roman Kotyk]

Еще одна тройка выглядит достаточно внушительно:
$ A=30046752, B=30130273, C=10839391776.$

[scwec]

Рассмотрим тройки $a=2m^2(2m^2+n^2),b=n^2(2m^2+n^2),c=2m^2{n^2}$ и $gcd(m,n)=1$.
Справедливы тождества:
$a+b+c=n^4+6m^2{n^2}+4m^4$
$ab+bc+ca=4m^2{n^2}(n^2+2m^2)^2$
$a^2+b^2+c^2=(n^4+2m^2{n^2}+4m^4)^2$
$abc=4m^4{n^4}(n^2+2m^2)^2$.
Все правые части, кроме первой строки - квадраты.
Рассмотрим Уравнение $Y^2=n^4+6m^2{n^2}+4m^4$
Полагая $x=\dfrac{n}{m},y=\dfrac{Y}{m^2}$ получаем уравнение эллиптической кривой $y^2=x^4+6x^2+4\qquad(1)$
Оно записывается в форме Вейерштрасса $w^2=u^3-28u-48\qquad(2)$ с помощью замены переменныx
$x=\dfrac{4w}{u^2-4u-12},y=\dfrac{16-32u-4u^2}{2u^2-8u-24}$. На кривой $(1)$ имеется рациональная точка $(3/2,19/4)$.
На кривой $(2)$ ей соответствует рациональная точка $P=(-26/9,80/27)$. Из теоремы Лутц-Нагель $P$ - точка бесконечного порядка
(поскольку она имеет дробные координаты).Таким образом, на кривой $(2)$, а сл-но и на кривой $(1)$ бесконечно много рациональных точек. Числители и знаменатели x-координат этих точек - это $n, m$
Они и обеспечивают бесконечное кол-во необходимх троек.
Точке $2P$ соответствует пример, приведенный ТС.
Точке $3P$ соответствует тройка еще более внушительная
$a=20179002863393005645000,b=14153715560244268824921,c=8318824722634980645000$. И так далее.

[Roman Kotyk]

Можно еще так:
Нашли тройку чисел, удовлетворяющую условие задачи: $(153;136;72)$
Заметим, что она обладает следующим свойством $9(9+8); 8(8+9); 8 \cdot 9$
Пусть $x=8 y=9$
Тогда $a=x(x+y); b=y(x+y); c=xy$
Числа $abc$ и $a^2+b^2+c^2$ всегда являются точными квадратами, при любых $ x $ и$ y$, тогда задача сводится к поиску квадратов чисел$ a+b+c=x^2+3xy+y^2$ и $ab+bc+ac=2xy(x+y)^2$

Вводим обозначения:
$2xy=r^2, x^2+3xy+y^2=t^2, |x-y|=q, x+y=s.$

Можно доказать, что пара $(X;Y)$, где $X=2r^2 \cdot t^2, Y=q^2 \cdot s^2$, порождает новую тройку $А=Х \cdot (Х+Y); B=Y \cdot (X+Y); c=X \cdot Y$.
Таким образом, получаем рекуррентную формулу, с помощью которой из каждой предыдущей тройки можно найти следующую.