Производная

[ewert]

(Оффтоп)

(злорадно) а вот теперь переведите все эти матрицы в эпсилон-дельты

[Утундрий]

(Оффтоп)

А где там матрицы?

[fronnya]

Я так думаю. Давайте рассмотрим приращение функции в точке $x_0$, она известна. Тогда приращение функции $\Delta f$ равно

$$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$

За $\Delta x$ Вы можете брать любое действительное число, таким образом, производная по определению равна пределу

$$\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

Число $x_0$ мы знаем, а приращение $\Delta x$- это тоже любое число, стало быть $\frac{dy}{dx}$ в точке $x_0$- это просто отношение чисел, поэтому, наверное, мы можем считать это дробью. Аргумент это так себе, но, может, здесь есть зацепка какая-нибудь.

(Оффтоп)

Кстати, вычитал на википедии, что частную производную тоже можно считать дробью, если представить её в виде

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d_x f}{dx}$$

Здесь $d_xf$- т.н. частный дифференциал, т.е. $f'_xdx$. Получается, что $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{f'_xdx}{dx}=f'_x$

[VanD]

fronnya в сообщении #1029234 писал(а):

Число $x_0$ мы знаем, а приращение $\Delta x$- это тоже любое число, стало быть $\frac{dy}{dx}$ в точке $x_0$- это просто отношение чисел

Там же предельный переход стоит. $\frac{dy}{dx}$ в точке $x_0$ -- это число, если производная определена. Можно его представить и как отношение других чисел, но $dy$ и $dx$ -- не числа, поэтому представление в виде отношения ковекторов обосновывается иначе.

(Оффтоп)

fronnya в сообщении #1029234 писал(а):

частную производную тоже можно считать дробью, если представить её в виде

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d_x f}{dx}$$

Мне кажется, что это плохой тон. При сменах координат не понятно что будет происходить.

[fronnya]

VanD в сообщении #1029277 писал(а):

(Оффтоп)

При сменах координат не понятно что будет происходить.

(Оффтоп)

А почему? Нельзя проверить, что будет происходить при переходе в новые координаты?

[Munin]

fronnya
Пока вас не побили ногами злые математики, давайте я побью, по-дружески.

fronnya в сообщении #1029234 писал(а):

Давайте рассмотрим приращение функции в точке $x_0$, она известна. Тогда приращение функции $\Delta f$ равно

$$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$

За $\Delta x$ Вы можете брать любое действительное число

Таким образом, обратите внимание, $\Delta f$ зависит от двух "входных величин": от $x_0$ и от $\Delta x.$ То есть, по сути, это функция двух переменных: $\Delta f=\Delta f(x_0,\Delta x).$ Это надо хорошо понимать.

fronnya в сообщении #1029234 писал(а):

производная по определению равна пределу

$$\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

Число $x_0$ мы знаем, а приращение $\Delta x$- это тоже любое число, стало быть $\frac{dy}{dx}$ в точке $x_0$- это просто отношение чисел

Нет, стоп. Слова "таким образом", "стало быть", и тому подобные, произносятся в математике тогда, когда есть логическое следование. Но из того, что вы перечислили, следует только то, что $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ - это просто отношение чисел. (И то, не просто отношение чисел, а отношение при одинаковых параметрах: что-то вроде $\tfrac{\Delta y(x_0,\Delta x)}{\Delta x(x_0,\Delta x)},$ где аргументы $(x_0,\Delta x)$ снизу и сверху подразумеваются одинаковые.)

Но! Когда вы переходите к пределу, это меняется! Предел дроби вовсе не обязательно может хоть как-то вообще выражаться через дробь (имеющую отношение к первоначальной...). Здесь нельзя делать логического скачка, с пределами надо обращаться осторожно.

----------------

Зато, можно поступить иначе (и в большинстве учебников матанализа так и делают). Как вы видели, $\Delta f=\Delta f(x_0,\Delta x)$ - функция двух переменных, в общем случае некоторая. Но от неё переходят к другой функции двух переменных - к линейной по второму аргументу.

$$\Delta f(x_0,\Delta x)=a(x_0)\,\Delta x+o(\Delta x),\qquad df(x_0,\Delta x)=a(x_0)\,\Delta x.$$

Эта функция и называется дифференциалом (внимание - только в этом смысле слова "дифференциал"). Тогда можно заметить, что $\tfrac{dy(x_0,\Delta x)}{dx(x_0,\Delta x)}$ (это полноценная дробь) - всегда одинаковое число, при каких бы $\Delta x$ его ни брать (и более того, знаменатель $dx\equiv\Delta x$), кроме единственного запрещённого случая. И тогда обозначение производной становится уже почти законной дробью:

$$\dfrac{dy}{dx}(x_0)=\dfrac{dy(x_0,\Delta x)}{dx(x_0,\Delta x)}\biggr|_{\forall\Delta x\ne 0}.$$

И вот это работает уже практически всегда. Но давайте посмотрим на производную от $y=\sqrt[3]{x}$ в нуле. Дифференциала $dy(0,\Delta x)$ не существует, и дроби не существует. А производная существует! :-) Ведь мы же можем взять предел, и это будет $+\infty$ - пусть и не число, но пределы могут быть не числами.

-- 21.06.2015 12:12:58 --

Munin в сообщении #1029294 писал(а):

Пока вас не побили ногами злые математики, давайте я побью, по-дружески.

Ну вот, я не успел...

[VanD]

(Оффтоп)

fronnya в сообщении #1029292 писал(а):

А почему? Нельзя проверить, что будет происходить при переходе в новые координаты?

Проверить-то можно, но в новых координатах это не будет иметь отношения к частной производной по какой-либо переменной в общем случае. Тогда как для случая функции одной переменной смысл сохраняется.

[Munin]

(Оффтоп)

VanD в сообщении #1029277 писал(а):

Мне кажется, что это плохой тон.

Ну понятное дело, что лучше взять дифференциал по направлению, что-то типа $d_{\vec{e}_x}f.$ Эта штука уже не испортится?

(Понятное дело, что понятие частной производной по какой-либо переменной - вообще бессмысленно, частные производные бывают по координате, в случае задания целиком локального базиса. Либо можно обсуждать производные по направлению.)

[grizzly]

(Оффтоп)

Не удержусь, пожалуй, от соблазна поделиться в этой теме забавной историей от avva

avva в жж писал(а):

Джон Мэйнард Смит был великий биолог, который использовал математические модели, в том числе из теории игр, для изучения эволюции. Он любил рассказывать историю о том, как биологический журнал не принял одну из его статей. В отрицательном отзыве рецензента было написано что-то вроде: "Слишком много сложной математической нотации. Часть ее можно выбросить, а многое из оставшегося упростить. Например, в уравнении $dy/dx = a$, почему бы хотя бы не сократить $d$?"

Там же ещё по Гротендика и журнал Nature, но это становится уже не смешно.