fronnyaПока вас не побили ногами злые математики, давайте я побью, по-дружески.
Давайте рассмотрим приращение функции в точке

, она известна. Тогда приращение функции

равно

За

Вы можете брать любое действительное число
Таким образом, обратите внимание,

зависит от двух "входных величин": от

и от

То есть, по сути, это функция двух переменных:

Это надо хорошо понимать.
производная по определению равна пределу

Число

мы знаем, а приращение

- это тоже любое число, стало быть

в точке

- это просто отношение чисел
Нет, стоп. Слова "таким образом", "стало быть", и тому подобные, произносятся в математике тогда, когда есть логическое следование. Но из того, что вы перечислили, следует только то, что

- это просто отношение чисел. (И то, не
просто отношение чисел, а отношение при одинаковых параметрах: что-то вроде

где аргументы

снизу и сверху подразумеваются одинаковые.)
Но! Когда вы переходите к пределу, это меняется! Предел дроби вовсе не обязательно может хоть как-то вообще выражаться через дробь (имеющую отношение к первоначальной...). Здесь нельзя делать логического скачка, с пределами надо обращаться осторожно.
----------------
Зато, можно поступить иначе (и в большинстве учебников матанализа так и делают). Как вы видели,

- функция двух переменных, в общем случае некоторая. Но от неё переходят к другой функции двух переменных - к линейной по второму аргументу.

Эта функция и называется
дифференциалом (внимание - только в этом смысле слова "дифференциал"). Тогда можно заметить, что

(это полноценная дробь) - всегда одинаковое число, при каких бы

его ни брать (и более того, знаменатель

), кроме единственного запрещённого случая. И тогда обозначение производной становится уже почти законной дробью:

И вот это работает уже практически всегда. Но давайте посмотрим на производную от
![$y=\sqrt[3]{x}$ $y=\sqrt[3]{x}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/6/336c5e6b3ccd06bbd298168e759dd26782.png)
в нуле. Дифференциала

не существует, и дроби не существует. А производная существует! :-) Ведь мы же можем взять предел, и это будет

- пусть и не число, но пределы могут быть не числами.
-- 21.06.2015 12:12:58 --Пока вас не побили ногами злые математики, давайте я побью, по-дружески.
Ну вот, я не успел...