Топология задаваемая многообразием

[Rich]

У нас есть произвольное гладкое многообразие надо доказать , что топоголия задаваемая им на самом деле является топологией, то есть проверить выполнение аксиом. Какие открытые множества надо брать для проверки? Если множества из карт, то как проверить аксиомы ведь они явно не заданы?

[AlexDem]

Rich в сообщении #1028498 писал(а):

топоголия задаваемая им

а что это значит? Как мне кажется, если это формально записать, то и получится то, что нужно. Кроме того, для топологии гладкого многообразия выполняется аксиома отделимости $T1$, может это чем-то ещё поможет.

[Rich]

Как только только мы внесли структуру гладкого многообразия на множество через карты, мы тем самым определили топологию. Но вопрос заключается в том, как проверить выполнение аксиом, ведь у нас произвольное многообразие?

[Brukvalub]

Rich в сообщении #1028498 писал(а):

есть произвольное гладкое многообразие надо доказать , что топоголия задаваемая им на самом деле является топологией

Какой-то безумный вопрос. Это примерно как спросить "Самое страшное зрелище?" и получить ответ: "это Валуев, размахивающий громко сквернословящим Жигурдой".
Топология задается НА многообразии, а не "многообразием", если не сказано, как именно эта топология задается, то даже при правильном согласовании времен-падежей-склонений-спряжений вопрос все равно останется безумным.

[AlexDem]

(Если самому Вам вопрос понятен , то попробуйте посмотреть тут: А. В. Чернавский - Лекции по классической дифференциальной геометрии. Часть 1 - там есть про связь топологии со структурой многообразия, по-моему).

-- менее минуты назад --

на стр. 41 посмотрите, если это не поможет, то я не знаю

[Rich]

Brukvalub в сообщении #1028506 писал(а):

Rich в сообщении #1028498 писал(а):

есть произвольное гладкое многообразие надо доказать , что топоголия задаваемая им на самом деле является топологией

Какой-то безумный вопрос. Это примерно как спросить "Самое страшное зрелище?" и получить ответ: "это Валуев, размахивающий громко сквернословящим Жигурдой".
Топология задается НА многообразии, а не "многообразием", если не сказано, как именно эта топология задается, то даже при правильном согласовании времен-падежей-склонений-спряжений вопрос все равно останется безумным.

Насколько мне известно, топология задаётся именно структурой многообразия. Так же, как топология метрического пространства задаётся метрикой.

[Brukvalub]

Rich в сообщении #1028532 писал(а):

Насколько мне известно, топология задаётся именно структурой многообразия. Так же, как топология метрического пространства задаётся метрикой.

"структура" - слово женского рода, топология задается "ей", то есть структурой. Теперь сравните:

Rich в сообщении #1028498 писал(а):

есть произвольное гладкое многообразие надо доказать , что топоголия задаваемая им

Что такое "топоголия", и кем или чем "им" она задается?

[Rich]

AlexDem в сообщении #1028510 писал(а):

(Если самому Вам вопрос понятен , то попробуйте посмотреть тут: А. В. Чернавский - Лекции по классической дифференциальной геометрии. Часть 1 - там есть про связь топологии со структурой многообразия, по-моему).

-- менее минуты назад --

на стр. 41 посмотрите, если это не поможет, то я не знаю

Спасибо, но тут написано, что аксиомы выполняются автоматически. Как это понять?

-- 18.06.2015, 16:00 --

Brukvalub в сообщении #1028535 писал(а):

Rich в сообщении #1028532 писал(а):

Насколько мне известно, топология задаётся именно структурой многообразия. Так же, как топология метрического пространства задаётся метрикой.

"структура" - слово женского рода, топология задается "ей", то есть структурой. Теперь сравните:

Rich в сообщении #1028498 писал(а):

есть произвольное гладкое многообразие надо доказать , что топоголия задаваемая им

Что такое "топоголия", и кем или чем "им" она задается?

Перефразирую вопрос. Доказать, что топология, задаваемая структурой гладкого многообразия действительно есть топология (т.е. проверить выполнение аксиом топологии).

[Brukvalub]

Опишите ту топологию, которая задается на гладком многообразии его структурой?

[Rich]

Brukvalub в сообщении #1028540 писал(а):

Опишите ту топологию, которая задается на гладком многообразии его структурой?

В этом и вопрос.

[Brukvalub]

Тогда дайте ТОЧНОЕ определение гладкого многообразия.

[Rich]

Я понял, открытые множества на многообразии можно определить как множества образ пересечения, которых с любыми картами(множествами из карт) открыты в $\mathbb{R}^n$. Дальше все понятно.

[g______d]

Ну или взять максимальный атлас и объявить соответствующие координатные окрестности базой топологии.

[Oleg Zubelevich]

не очень понял, что такое максимальный атлас, что хочет ТС тоже не очень понял. Если у нас есть несколько отображений $f_i:X\to T_i$ произвольного множества $X$ в топологическое пространство $T_i$, то в $X$ можно задать слабейшую топологию при которой все эти отображения окажутся непрерывными. Однако эта топология не обязана быть отделимой

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1028601 писал(а):

не очень понял, что такое максимальный атлас

и в гугле меня забанили, а на геометрические кафедры совсем не пускают, так что узнать про это нет шансов!