Супергладкая шапочка

[AD]

Существует ли гладкая шапочка (то есть бесконечно дифференцируемая функция $f:\mathbb R\to\mathbb R$, положительная на $(-1,1)$ и равная нулю в остальных точках, например, $f_1(x)=e^{\frac{1}{x^2-1}}\chi_{(-1,1)}(x)$), у которой все производные во всех точках ограничены общей константой (то есть $\exists M>0$: $\forall x\in\mathbb R$ $\forall n\in\mathbb N_0$ $\bigl|f^{(n)}(x)\bigr|\le M$) ?

То есть если меня ткнуть носом в подходящую функцию, то я попробую в качестве упражнения доказать, что она обладает нужным свойством . Функция $f_1$ вряд ли подходит, хотя я и в этом не уверен. Ну из таких соображений, что у нее производные имеют вид $\frac{p_n(x)}{q_n(x)}f_1(x)$, и у многочлена $q_n(x)$ неприятные нули в точках 1 и -1 быстро растущего порядка.

[nckg]

Такая функция не существует. Можно доказать от противного, рассмотрев отрезок $x\in [-1,-\frac{1}{2}]$ и воспользовавшись тем, что $\forall n\in\mathbb N \quad \bigl|f^{(n)}(-1)\bigr|= 0$ и, следовательно,

$$f^{(n)}(x)= \int_{-1}^{x}f^{(n+1)}(\xi)\,d\xi$$

.

[AD]

А, и типа отсюда следует, что

$$\bigl|f(x)\bigr|=\left|\int_{-1}^{x}\int_{-1}^{x_1}\cdots\int_{-1}^{x_{n-1}}f^{(n)}(x_n)\,dx_n\,\cdots\,\,dx_1\right|\leqslant M(x+1)^n$$

,
что в сочетании с условием $-1\leqslant x\leqslant-1/2$ и произвольностью $n\in\mathbb N_0$ как раз дает, что функция равна нулю на $[-1,-1/2]$, чтд
Спасибо!

P.S. Опять облом. Надо какую-нибудь "обобщенную функцию" придумать, что-ли, чтобы таким свойством обладала ... ладно, ну не судьба значит.

[Егор]

Это сообщение можно считать продолжением вопроса, который задал AD.

Для той же функции-шапочки рассмотрим следующие величины:

$$M_n:=\sup_{|x|<1}|f^{(n)}(x)|.$$

Поскольку ряд Тейлора для $f$ в граничных точках имеет радиус сходимости $0$, то $\limsup\sqrt[n]{M_n}=\infty$. Это ещё раз доказывает, что $M_n$ не могут быть ограничены в совокупности.

Вопрос в том, насколько быстро возрастают $M_n$. Хотелось бы, чтобы последовательность $M_n$ возрастала значительно медленнее, чем $n!$.

[worm2]

Егор писал(а):

Хотелось бы, чтобы последовательность $M_n$ возрастала значительно медленнее, чем $n!$.

Если даже $M_n$ будет возрастать как $n!$, то радиус сходимости будет не меньше 1, т.е. локально функция будет аналитична в каждой точке, что автоматически влечёт за собой тождественное равенство нулю.

[Gafield]

Ответ на вопрос дает понятие квазианалитической функции: есть теорема Данжуа-Карлемана, дающая критерий в терминах $M_n$, когда из условия $f^{(k)}(x)=0$, $k=0,1,\ldots$, в некоторой точке $x\in[0,1]$ вытекает, что функция $f\in C^\infty([0,1])$ тождественно равна нулю на $[0,1]$.

[Егор]

worm2, Gafield, спасибо!

Не знаю, почему в предыдущем сообщении я подставил в формулу Коши-Адамара $f^{(n)}(x)$, а не $f^{(n)}(x)/n!$, как нужно. Так что на самом деле формула Коши-Адамара даёт $\limsup\sqrt[n]{M_n/n!}=\infty$ и рушит мои беспочвенные надежды.

[nckg]

А кстати интересно, насколько быстро в общем случае могут расти производные n-ого порядка у бесконечно дифференцируемой ф-ции?

Можно поставить вопрос так: Пусть $f\in C^\infty(\mathbb R)$. Существует ли числовая последовательность $\{c_n\}$, такая, что для любого $x_0\in \mathbb R$

$$ c_n f^{(n)}(x_0) \to 0, \quad n\to \infty $$

[nckg]

Уточнение: можно ли сделать так, чтобы последовательность $c_n$ не зависила от $f$?

[Gafield]

nckg в сообщении #274836 писал(а):

Уточнение: можно ли сделать так, чтобы последовательность $c_n$ не зависила от $f$?

Нет. Имеется теорема Сарда - для любой последовательности действительных чисел $\{a_n\}$ существует бесконечно дифференцируемая в окрестности нуля функция $f$ такая, что $f^{(n)}(0)=a_n$, $n=0,1,2,\ldots$.

[nckg]

Спасибо! А где в литературе есть эта теорема?

[Gafield]

Не знаю

[ИСН]

Тётя Вика под этим названием (Sard's theorem) числит нечто другое.

[Gafield]

Ну, то известная теорема из дифференциальной геометрии. Во многих учебниках есть, включая Зорича.