Как я понимаю, тут штука вот в чём. Мы можем взять векторные уравнения Максвелла, и вывести из них волновые уравнения - для потенциалов или для напряжённостей полей. Интересный бонус, который мы получаем, - это что в результате уравнения "расцепляются". Одно уравнение касается скалярного потенциала, другое - векторного. И векторный не входит в уравнение для скалярного, а скалярный - в уравнение для векторного. То есть, их можно решать независимо, не обращая внимания на то, что происходит с другим.
Разумеется, физически они не независимы. Если мы решили уравнение для скалярного потенциала, то дальше к нему уже подойдёт не любой векторный. Но это нас, допустим, не волнует, а интересует только скалярный - вот тут это "расцепление" и сыграет свою роль.
Дальше - больше. Расцепляются не только скалярный и векторный потенциалы, не только электрическое и магнитное поля. Расцепляются даже компоненты векторных полей! (в декартовых координатах, разумеется) Можно независимо решать волновые уравнения для

для

для

и точно так же не интересоваться, а что там с другими компонентами. И вот тут на сцену выходит математика, и говорит: а уравнения-то между собой одинаковые! Если мы научимся решать одно из них, то научимся решать все. И давайте не говорить, о чём конкретно говорит это уравнение, а обозначим эту штуку абстрактно за

Здесь будет подразумеваться, что

- это

- но конкретно не важно, что. И понятное дело, что в этом случае

- величина скалярная.
Ну а дальше решается уравнение Д'Аламбера, и в качестве решения получается та формула, которую вы пишете.