Вращение твёрдого тела. Задача

[StaticZero]

Цитата:

Оси тонкостенного и сплошного цилиндров соединены невесомой штангой. Цилиндры скатываются без проскальзывания по наклонной плоскости с углом $\alpha$. Радиусы цилиндров одинаковы, масса каждого цилиндра $m$. Найдите силу натяжения штанги.

Предлагаю решение:
Пусть силы расставлены так, как на рисунке.

(Оффтоп)

Совместное качение означает равенство угловых ускорений ($\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = \varepsilon$) и равенство ускорений ($a_1 = a_2 = a$). Качение без проскальзывания означает, что $a = \varepsilon R$.

Из основных законов динамики тел имеем:
\begin{cases} ma = F - F_{\text{тр}1} - T, \\ ma = T - F_{\text{тр}2}, \\ J_1 \varepsilon = F_{\text{тр}1}R, \\ J_2 \varepsilon = F_{\text{тр}2}R, \\ a = \varepsilon R \end{cases}

Отсюда получаем
$ 2T = F + F_{\text{тр}2} - F_{\text{тр}1} $

$ F_{\text{тр}2} = \dfrac{J_2 \varepsilon}{R} = \dfrac{aJ_2}{R^2} = \dfrac{J_2 T}{mR^2} - \dfrac{J_2F_{\text{тр}2}}{mR^2}$

$ F_{\text{тр}2} \left(1 + \dfrac{J_2}{mR^2} \right) = \dfrac{J_2 T}{mR^2}, \quad \quad F_{\text{тр}2} = \dfrac{J_2 T}{J_2 + mR^2} $

$ F_{\text{тр}1} = F_{\text{тр}2} \dfrac{J_1}{J_2} = \dfrac{J_1 T}{J_2 + mR^2}$

$ 2T = F + T \left( \dfrac{J_2}{J_2 + mR^2} - \dfrac{J_1}{J_2 + mR^2} \right) = F + T \left( \dfrac{J_2 - J_1}{J_2 + mR^2}\right)$

$ T \left(2 - \dfrac{J_2 - J_1}{J_2 + mR^2} \right) = T \left( \dfrac{J_2 + J_1 + 2mR^2}{J_2 + mR^2} \right) = F $

$ T = F\dfrac{mR^2 + J_2}{J_1 + J_2 + 2mR^2} = F \dfrac{2mR^2}{mR^2 \left(\frac{1}{2} + 3\right)} = \dfrac{4F}{7} = \dfrac{4mg \sin \alpha}{7}$

Правильный ответ (указанный в задачнике)— $\dfrac{mg \sin \alpha}{7}$. Где я накосячил, подскажите, пожалуйста?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1026884 писал(а):

Где я накосячил, подскажите, пожалуйста?

Что за сила $F$?
Уберите ее и поставьте взамен в правильных местах силу тяжести. Ну и удобно писать уравнения для моментов так, чтобы исключить неизвестные силы трения.

[Skeptic]

Рассмотрите один цилиндр.Как зависит его скорость от массы и радиуса?

[StaticZero]

Skeptic в сообщении #1026918 писал(а):

Рассмотрите один цилиндр.Как зависит его скорость от массы и радиуса?

Если на эту же наклонную плоскость поставить какой-нибудь цилиндр с моментом инерции $J$ (чтобы он катился), можно написать следующее:

$$ \begin{cases} ma = mg \sin \alpha - F_{\text{тр}}, \\ J\varepsilon = F_{\text{тр}} R, \\ a = \varepsilon R \end{cases} $$

Отсюда получаем
$ma = mg \sin \alpha - \dfrac{Ja}{R^2}$

$a \left(m + \dfrac{J}{R^2} \right) = mg \sin \alpha $

$a = \dfrac{g\sin \alpha}{1 + \dfrac{J}{mR^2}} $

$v = at = \dfrac{gt \sin \alpha}{1 + \dfrac{J}{mR^2}} $, где $t$ — рассматриваемый отрезок времени.

-- 14.06.2015, 13:48 --

DimaM в сообщении #1026915 писал(а):

Что за сила $F$?
Уберите ее и поставьте взамен в правильных местах силу тяжести. Ну и удобно писать уравнения для моментов так, чтобы исключить неизвестные силы трения.

Выберем мгновенные оси вращения в точках касания цилиндров с плоскостью.

$$ \begin{cases} J_1 \varepsilon = (mg \sin \alpha - T)R, \\ J_2 \varepsilon = (T + mg \sin \alpha)R. \\ \end{cases} $$

$(J_1 + J_2) \varepsilon = 2 mgR \sin \alpha $

$\varepsilon = \dfrac{2mg R \sin \alpha}{J_1 + J_2}$

$mg \sin \alpha - \dfrac{J_1 \varepsilon}{R} = T$

$ T = mg \sin \alpha - \dfrac{J_1}{J_1 + J_2} 2mg \sin \alpha $

Теорема Штейнера:
$ J_1 = \dfrac{3}{2} mR^2 $
$ J_2 = 2mR^2 $

$ T = mg \sin \alpha - 2 mg \sin \alpha \dfrac{\frac{3}{2} mR^2}{\frac{3}{2} mR^2 + 2mR^2} = mg \sin \alpha\left(1 - \dfrac{3}{\frac{7}{2}}\right) = \dfrac{mg \sin \alpha}{7}$

-- 14.06.2015, 14:10 --

Хм, пока не вижу своей ошибки в изначальном рассуждении, но она есть, так как ответы разные от разных подходов.

[Skeptic]

StaticZero в сообщении #1026957 писал(а):

$v = at = \dfrac{gt \sin \alpha}{1 + \dfrac{J}{mR^2}} $, где $t$ — рассматриваемый отрезок времени.

StaticZero, вы получили скорость скатывания одного цилиндра, очевидно, такая же зависимость и для второго:
$v_1 = a_1t = \dfrac{gt \sin \alpha}{1 + \dfrac{J_1}{mR^2}} $ и $v_2 = a_2t = \dfrac{gt \sin \alpha}{1 + \dfrac{J_2}{mR^2}} $. Так как цилиндры связаны штангой, то скорости их должны быть равны $v_1 = v_2 $, и, следовательно, $J_1 = J_2 $, это противоречит задаче.
Как думаете почему?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1026957 писал(а):

Хм, пока не вижу своей ошибки в изначальном рассуждении, но она есть, так как ответы разные от разных подходов.

В начальном рассуждении есть сила $F=2mg\sin\alpha$, приложенная только к первому цилиндру. Это просто другая задача: два цилиндра на горизонтальной плоскости, первый тянут с известной силой. Поэтому немудрено, что ответ другой.

[мат-ламер]

Альтернативный подход к решению. Рассмотрим сначала два диска как не связанных между собой ( а сами по себе). Их ускорение можно легко подсчитать (допустим, исходя из закона сохранения энергии). Можно считать, что на диски действует сила, напраленная вдоль наклонной плоскости, которую можно подсчитать через силу тяжести и угол наклона плоскости. Можно считать, что диски не вращаются, а их масса увеличивается на дополнительный коэффициент пропорциональности. Далее легко подсчитать, с каким ускорением будут двигаться два соединённых диска. А отсюда подсчитывается и сила натяжения штанги.

[Munin]

мат-ламер
Ну да, для тех, кто не умеет записать элементарного третьего закона Ньютона, можно придумать круговой путь через тридевять земель, в конце концов к этому закону Ньютона и сводящийся... остроумно.

[мат-ламер]

StaticZero в сообщении #1026884 писал(а):

Из основных законов динамики тел имеем:
$\begin{cases} ma = F - F_{\text{тр}1} - T, \\ ma = T - F_{\text{тр}2}, \\ \end{cases}$

Это что? Второй закон Ньютона? С какой стати? Хотя, если массу определить должным образом, то может быть ...

-- Вт июн 16, 2015 21:11:06 --

Munin в сообщении #1027527 писал(а):

мат-ламер
Ну да, для тех, кто не умеет записать элементарного третьего закона Ньютона,

Не знаю, как насчёт третьего закона, а со вторым законом есть затруднения.

-- Вт июн 16, 2015 22:00:15 --

StaticZero в сообщении #1026957 писал(а):

Выберем мгновенные оси вращения в точках касания цилиндров с плоскостью.

А этот подход привёл к решению, потому что не использует второй закон Ньютона. А в первом посту без этого закона обойтись нельзя, поскольку момент силы натяжения штанги относительно центра цилиндров равен нулю.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1027901 писал(а):

Не знаю, как насчёт третьего закона, а со вторым законом есть затруднения.

Не знал, что у вас такие затруднения. Мои сочувствия.

[мат-ламер]

StaticZero в сообщении #1026884 писал(а):

Из основных законов динамики тел имеем:
$\begin{cases} ma = F - F_{\text{тр}1} - T, \\ ma = T - F_{\text{тр}2}, \end{cases}$

А что, на второй цилиндр сила $F$ не действует?

-- Ср июн 17, 2015 20:39:55 --

мат-ламер в сообщении #1027448 писал(а):

Альтернативный подход к решению. Рассмотрим сначала два диска как не связанных между собой

Я имел в виду следующее. Уравнение движения первого цилиндра $3ma/2=mg\sin \alpha -T$. Уравнение движения второго цилиндра $2ma=mg \sin \alpha+T$. Из этой системы сразу находим правильный ответ $T=mg\sin \alpha /7$.

-- Ср июн 17, 2015 20:42:34 --

Munin в сообщении #1027936 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1027901 писал(а):

Не знаю, как насчёт третьего закона, а со вторым законом есть затруднения.

Не знал, что у вас такие затруднения. Мои сочувствия.

Не сразу вник в систему обозначений топикстартера. Сила $F$ смутила.

[Sam11]

Здравствуйте у вас ошибка во втором уравнении там должно быть так:

F+T-Fтр2=ma , где F=mgsin(угла наклона)

[Pphantom]

Sam11, замечание за неправильное оформление формул. Кстати, и ответ на сообщение более чем годичной давности, пожалуй, не очень актуален.