Вращающаяся система отсчёта

[qwe8013]

Вопрос по ТО.
В общем есть система отсчёта вращающаяся с угловой скоростью $\omega$.
В ней задана система координат $(r,\theta,z,ct)$.
Где $z$ - ось вращения, а $r$ и $\theta$ - полярные координаты в плоскости вращения.
На сколько я понял метрический тензор в ней выглядит так:
$g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & \frac{\omega r^2}{c} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{\omega r^2}{c} & 0 & -(1-\frac{r^2 \omega^2}{c^2}) \end{pmatrix}$
А метрический тензор 3-х мерного пространства выглядит так:
$\gamma_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{r^2}{1-\frac{r^2 \omega^2}{c^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Соответственно есть 2 вопроса:
1)Почему для 3-х мерного пространства метрический тензор не равен просто пространственной части 4-х мерного?
2)При $r=\frac{c}{\omega}$ знаменатель в $\gamma_{22}$ равен нулю, а при больших $r$ он отрицательный, что за фигня?
Книга, в которой я это всё вычитал:
Мёллер К. "Теория относительности".

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[Kirill_Sal]

qwe8013
Вы бы написали интервал в этой геометрии, в матричном виде в современных учебниках и статьях редко пишут. Не могу понять, где Вашей матрице временные компоненты $g_{i0}$? И по-моему, там еще двойки должны появиться у некоторых коэффициентов.
Теперь по вопросам:
1) А вообще метрический тензор 3-геометрии и не должен быть тождественно равен пространственной части $g_{ik}$. Ваша системе не статичная, вот какая штука. На эту тему есть целая глава в книге Мизнера-Торна-Уилера (3+1 разбиение). Меллера я читал очень давно, но могу точно сказать, что по части обозначений он серьезно устарел.
2) Допустим, Вы получили правильные выражения для компонент метрики. Что у нас будет в точке $r\omega=c$?

[Nirowulf]

qwe8013 в сообщении #1027173 писал(а):

2)При $r=\frac{c}{\omega}$ знаменатель в $\gamma_{22}$ равен нулю, а при больших $r$ он отрицательный, что за фигня?

На таком расстоянии линейная скорость вращения сравнивается со скоростью света, вращающаяся система отсчёта становится неприменимой. При $r > \frac{c}{w}$ такая СО не может быть образована реальными телами.

qwe8013 в сообщении #1027173 писал(а):

1)Почему для 3-х мерного пространства метрический тензор не равен просто пространственной части 4-х мерного?

Потому что, пространственная часть $4$-мерной метрики по определению есть метрика подмногообразия $x^0 -\operatorname{const}.$ Называется метрикой АДМ.

А метрика $\gamma_{ij},$ которая строится из метрики $g_{ij},$ есть метрика пространства, определяемого условием $d\tau=0,$ где

$$d\tau=\sqrt{1-\frac{w^2r^2}{c^2}} \left(dt-\frac{wr^2}{c^2\sqrt{1-\frac{w^2r^2}{c^2}}}d\varphi\right).$$

Это выражение не является полным дифференциалом, поэтому неинтегрируемо. Позволю себе сослаться на пост, где про эту вещь написано более подробно.

[Munin]

Nirowulf
Осталось непонятным, зачем $\gamma_{ij}$ называется "пространственной метрикой".

[qwe8013]

Цитата:

На таком расстоянии линейная скорость вращения сравнивается со скоростью света, вращающаяся система отсчёта становится неприменимой. При $r > \frac{c}{w}$ такая СО не может быть образована реальными телами.

Но ведь тела за этим радиусом продолжают существовать.
Ну или например если от центра системы отсчёта перпендикулярно оси $z$ начнёт двигаться тело, то после удаления его на расстояние $ > \frac{c}{w}$ оно просто бесследно исчезнет, или как?

[Kirill_Sal]

qwe8013 в сообщении #1027366 писал(а):

Цитата:

На таком расстоянии линейная скорость вращения сравнивается со скоростью света, вращающаяся система отсчёта становится неприменимой. При $r > \frac{c}{w}$ такая СО не может быть образована реальными телами.

Но ведь тела за этим радиусом продолжают существовать.
Ну или например если от центра системы отсчёта перпендикулярно оси $z$ начнёт двигаться тело, то после удаления его на расстояние $ > \frac{c}{w}$ оно просто бесследно исчезнет, или как?

1) В точке $r\omega=c$ Вы встретили сингулярность метрики, - это граница области реалистичных предсказаний в данной системе координат. Какая эта сингулярность? Простым преобразованием координат она убирается. Значит сингулярность эта не физическая, а координатная.

2) А вы найдите в данной системе координат траекторию тела движущегося от центра диска к его границе. Представьте, что Вы наблюдаете за данным процессом, сидя в середине дискс. Представим, что по мере приближения радиус-вектора пробного тела к значению $c/\omega$ оно начинает испускать фотоны. С какой частотой они к Вам приходят? И напишите сюда, какие неприятности Вы встретите. (К сожалению времени расписать сегодня нету, но в любом случае думаю, что Вам следует попытаться сделать этот простой расчет самостоятельно).

[Утундрий]

qwe8013 в сообщении #1027173 писал(а):

Почему для 3-х мерного пространства метрический тензор не равен просто пространственной части 4-х мерного?

Так случается, когда $g_{0i} \neq 0$.

[мат-ламер]

qwe8013 в сообщении #1027366 писал(а):

Но ведь тела за этим радиусом продолжают существовать.
Ну или например если от центра системы отсчёта перпендикулярно оси $z$ начнёт двигаться тело, то после удаления его на расстояние $ > \frac{c}{w}$ оно просто бесследно исчезнет, или как?

Сможет ли оно двигаться вдоль радиуса?

[qwe8013]

Kirill_Sal

Цитата:

Представим, что по мере приближения радиус-вектора пробного тела к значению $c/\omega$ оно начинает испускать фотоны. С какой частотой они к Вам приходят?

Если я правильно понял нужно использовать формулу для релятивистского эффекта Доплера, видимо эту: $\omega=\omega_0\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{v}{c}\cos{\theta}}$, где $\theta$ - угол между направлением на источник и вектором скорости в системе отсчёта приёмника.
С течением времени скорость объекта будет увеличиваться и стремиться к скорости света, и судя по этой формуле частота будет падать до нуля.
Но вроде бы если ночью выйти на улицу и начать крутиться вокруг своей оси, то звёзды с неба не пропадают, где я несу чушь?

[Kirill_Sal]

qwe8013
Вы извините, но бездумно пользоваться табличными школьными формулами для таких задач - это плохой показатель для человека, начинающего изучать ОТО. Начнем хотя бы с того, для случая какого движения справедлива написанная Вами формула?
Полистайте учебник. Лучше возьмите не Меллера, а хотя бы ЛЛ2, чтобы быстро сориентироваться в ф-лах. Для понимания читать надо Мизнера-Торна-Уилера.
Я с Вами обсудить правильные формулы и саму задачу смогу только завтра после экзамена, так что если Вам никто другой не уделит времени, то до завтра.

-- 16.06.2015, 01:33 --

qwe8013 в сообщении #1027567 писал(а):

Цитата:

Но вроде бы если ночью выйти на улицу и начать крутиться вокруг своей оси, то звёзды с неба не пропадают, где я несу чушь?

Что ж, разгонитесь до ультралятивистских скоростей, чтобы понять, что ничего увидите, раз не хотите верить формулам.

[Sicker]

qwe8013
В ТО можно реализовать любую систему отсчета, даже образованную сверхсветовыми телами.
Вы уже привели пример с вращением головы и сверхсветовым перемещением звезд

[Kirill_Sal]

Sicker
Ну зачем Вы влезаете, не понимая о чем речь?

[Sicker]

Kirill_Sal
Так введите меня в тему!

[Munin]

Sicker в сообщении #1027594 писал(а):

В ТО можно...

Нет такой теории.

Sicker в сообщении #1027594 писал(а):

...даже образованную сверхсветовыми телами.

Нет таких тел.