Как Вы читаете линейную алгебру?

[profrotter]

ewert в сообщении #1026824 писал(а):

линейную алгебру

Простите, а где линейные пространства, линейные операторы, норма, базис, неравенство Коши-Буняковского и проч.?

[Padawan]

Anton_Peplov
"Нет царских путей к геометрии". В любом случае придется попотеть, хоть так, хоть эдак изучай.

arseniiv в сообщении #1026904 писал(а):

Смотрите: определитель — это типа ориентированный объём. Ориентированный — вот и ровно кососимметричность.

Вот типичный пример. Объясняющему кажется, что всё понятно и очевидно, а на самом деле ничего не понятно. Причём тут объём, да еще и ориентированный какой-то. Да и вообще, причем тут вектора...

Думаю, что матрицы и определители вводятся сначала для того, чтобы подготовить обучающегося к понятию многомерного пространства. А то так сразу бух "линейное пространство, базис, координаты...", а в голове только плоскость да трёхмерное пространство.

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1026927 писал(а):

В любом случае придется попотеть, хоть так, хоть эдак изучай.

Потеть, конечно, придется. Но одно дело - потеть над чем-то, о чем ты понимаешь, что это и зачем, а другое - над тем, что для наивного первокурсника выглядит как роман Кафки.

Padawan в сообщении #1026927 писал(а):

Да и вообще, причем тут вектора...

Ок, давайте без векторов. Объясните "на пальцах", что такое определитель.

Padawan в сообщении #1026927 писал(а):

Думаю, что матрицы и определители вводятся сначала для того, чтобы подготовить обучающегося к понятию многомерного пространства. А то так сразу бух "линейное пространство, базис, координаты...", а в голове только плоскость да трёхмерное пространство.

Вот уж чего не сказал бы. Пространство, базис и координаты есть и на плоскости, и в трехмерном пространстве, понятия родные и знакомые. И я не вижу, какие трудности может вызвать переход в формуле от трех слагаемых к $n$ слагаемых.
А вот что касается матриц, то таблица из чисел пять на пять лично у меня будит ассоциации с чем угодно, только не с пятимерным пространством.

[Otta]

Anton_Peplov
Вопрос построения курса - часто вопрос личных предпочтений автора. Одному кажется более естественным один порядок, другому - другой, и переубедить кого-то бывает практически невозможно. Тем более, что большую роль при выборе того или иного порядка изложения материала часто играет не математическая естественность этого порядка, а аудитория, на которую курс рассчитан, ограниченность во времени, необходимость своевременно обеспечить вспомогательным материалом параллельные курсы, и если важно как можно скорее ввести матрицы и определители, первыми будут стоять матрицы и определители. Напомню, учебник Ильина - Позняка рассчитан не на "чистых" математиков.

Это не значит, что другие учебные пособия будут придерживаться того же порядка, поэтому практически всегда есть возможность найти что-то более близкое Вам по духу.

Например:
Линейная алгебра и геометрия, Шафаревич И.Р., Ремизов А.О.
Глава 1. Линейные уравнения
Глава 2. Матрицы и определители
Глава 3. Векторные пространства
Глава 4. Линейные преобразования пространства в себя
....
Глава 7. Евклидовы пространства
....

Остальное - это не то, о чем Вы хотели бы говорить. :)

[Oleg Zubelevich]

по-моему, в курсе линейной алгебры для математиков во всяком случае должно быть следующее
1) теоремы, не требующие конечномерности должны доказываться без конечномерности, в частности понятие базиса, существование базиса, единственность разложения должны ввводиться в бесконечномерной версии. да, да, использовать лемму Цорна без стеснения.
2) тензоры
3) симплектическая геометрия
4) фактор пространства, теоремы о коммутативности диаграмм
Все это надо делать второй итерацией, после того, как рассказана базовая конечномерная теория, включая СЛУ, определители и т.д. Но надо делать обязательно.

[Anton_Peplov]

Otta в сообщении #1026968 писал(а):

Напомню, учебник Ильина - Позняка рассчитан не на "чистых" математиков.

Именно не математики больше всего нуждаются в том, чтобы им объяснили, зачем нужен тот или иной математический аппарат. Для них математика - инструмент, а не самоцель. И прежде чем изучать инструмент, важно знать, а чего этим инструментом делают.

[Otta]

Anton_Peplov в сообщении #1026974 писал(а):

И прежде чем изучать инструмент, важно знать, а чего этим инструментом делают.

Это кажется логичным, но на первый взгляд. Потому что чаще всего объяснение, а чего этим инструментом делают, требует от слушателя бóльших знаний, чем демонстрация инструмента, и использует его свойства, которые к тому моменту должны быть досконально изучены.

[Anton_Peplov]

Otta в сообщении #1026978 писал(а):

Потому что чаще всего объяснение, а чего этим инструментом делают, требует от слушателя бóльших знаний, чем демонстрация инструмента

Не уверен. Вот с определителем мы выяснили, что он используется как критерий линейной зависимости векторов и как критерий количества решений СЛАУ. И то и другое вполне доступно для понимания до, а не после введения понятия определителя. Про группы - пара эффектных примеров типа "повороты и симметрии", а потом - "смотрите, как такие разные вещи можно описать на едином языке". Про тензоры - через распределение физических величин в пространстве. Если перейти к матановским примерам, про предел функции тоже можно рассказать на пальцах, особенно про предел при $t \to \infty$ - "а как поведет себя величина, если все и дальше будет продолжаться так? Будет все время возрастать или, скажем, будет приближаться к какому-то значению, но никогда не достигнет его? Или будет колебаться туда-сюда?". Производная - формализация понятия скорости. Ну и так далее. Да про все можно "на пальцах" рассказать, зачем это нужно и куда мы вообще идем, прежде чем заниматься строгим построением.
Кстати, у тех же Ильина и Позняка классический курс матана предваряется целой главой о задачах, приводящих к понятиям матанализа:)

[Padawan]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1026987 писал(а):

Да про все можно "на пальцах" рассказать, зачем это нужно и куда мы вообще идем, прежде чем заниматься строгим построением.

Лично про себя скажу. Терпеть не могу книги, где много таких рассуждений. Они отвлекают от сути, а понимания не добавляют. Самый лучший стиль -- деловитый, без забегания вперед и без топтания на месте, без лишних общих слов и чрезмерно длинных мотивировок. Такой стиль, например, у Понтрягина, Куратовского. Да и у Фихтенгольца тоже.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1026993 писал(а):

Терпеть не могу книги, где много таких рассуждений.

А я не агитирую за "много". Полстранички в начале главы - вполне хватит.

[Otta]

И что, их обычно нет?

[Anton_Peplov]

Зависит от учебника. В линале Ильина и Позняка их нет. В их же матанализе - есть, но не во всех главах. В этом отношении прекрасен учебник Е. С. Вентцель по теорверу - вот там в начале каждой главы, кратко, ясно и доходчиво.

[Otta]

Ну дык какие проблемы, берете другой учебник. Пользуетесь двумя-тремя. Было бы желание.
А если желания нет, никакие объяснения, зачем оно нужно, не помогают проникнуться нужностью.

[Anton_Peplov]

Взял Мальцева, оказалось еще хуже:) Впрочем, конечно, учебник по вкусу можно подобрать, если постараться.
Стартовый вопрос был, в общем, не в этом, а в попытке собрать отзывы действующих преподавателей о том, в каком порядке они читают линал. Но, кажется, что мог - уже собрал, началось "чисто поболтать". Ну, поболтать с умными людьми - дело тоже хорошее.

[ewert]

profrotter в сообщении #1026920 писал(а):

Простите, а где линейные пространства, линейные операторы, норма, базис, неравенство Коши-Буняковского и проч.?

Всё -- исключительно во втором семестре. Поэтому бежать поперёд паровоза я даже и не пытался. Хотя соблазны были, конечно.

-- Вс июн 14, 2015 17:38:20 --

Норм как таковых у них, кстати, в курсе алгебры вроде тоже не было (не считая евклидовой, естественно). И мне через год приходится восполнять этот пробел в курсе вычмата.