Как Вы читаете линейную алгебру?

[Anton_Peplov]

Вопрос прежде всего преподавателям, но все остальные тоже приветствуются.

Классический учебник Ильина и Позняка "Линейная алгебра" построен следующим образом:

Глава 1. Матрицы и определители.
Глава 2. Линейные пространства.
Глава 3. СЛАУ.
Глава 4. Евклидовы пространства.
Глава 5. Линейные операторы.

Остальное - не то, о чем я хочу говорить.

В этом порядке я сию премудрость и штудировал. Помню впечатление от матриц - "а че, прямоугольные таблички из чисел, прикольно"; от умножения матриц - "муторная какая-то процедура, интересно, зачем она нужна?"; от определителей - "Боже, зачем ЭТО?!". Ну правда ведь, непонятное какое-то число, которое даже, даром что "определитель", не определяет свою матрицу (кстати, почему он так называется? Потому что определяет линейный оператор?), вычисляется по неизвестно с какого потолка взятому правилу (почему так? А если я другое число хочу вычислить? Да всяких комбинаций из элементов матрицы можно составить - хоть улицы мости, спасибо комбинаторике! Чем эта лучше?), к тому же правило весьма громоздкое (вычисляем определитель четвертого порядка через разложение на миноры. Господи, помоги мне). В общем - пота много, толку мало. Зачем все это - неясно, хоть убейся. И даже теорема о том, что равенство нулю определителя - критерий линейной зависимости строк, не спасает дело. Ну критерий, а чем она интересна, эта линейная зависимость строк матрицы?

И тут глава 2. Линейные пространства. Ого, как красиво! Какое широкое и простое обобщение. А эти, как их там, матрицы - они тоже линейное пространство, с их операциями сложения и умножения на число? Ага, точно. Ну, хорошо. Ага, базисы. Линейная независимость. Всякие $n$ линейно независимых векторов образуют базис. А уж по базису можно разложить вообще любой вектор. Надо же, какая полезная вещь. И наглядная: два вектора линейно независимы, если неколлениарны, три - если не лежат в одной плоскости. Только как их распознавать-то? Вот три вектора заданы своими координатами, как узнать, линейно независимы они или где? Эээ... Задача. Стоп, где-то я про эту линейную независимость уже слышал. Ну да, это когда строки матрицы. А если вектор представить как строку координат, это не то же самое будет? Точно! Ну точно же! То же самое. И определитель этот... [censored]... А! Аа!! Аааааа!!!!!!!!!

Вот у меня вопрос: я один такой изумленный или эти две главы действительно лучше поменять местами? И подождать, когда матрицы возникнут естественным образом из координат векторов, а определитель - как критерий их линейной независимости? И, кстати, как площадь параллелограмма, о чем в учебнике не написано ВООБЩЕ?

[provincialka]

Я не читала линал математикам, только естественникам (и даже гуманитариям...) Начинала с систем уравнений.
Показывала, что коэффициенты при неизвестных удобно выписать отдельно, в виде таблицы (матрицы). Тогда левая часть получается как некое действие "строка+столбец=число" и, соответственно, "матрица+столбец=столбец".
Так появляется умножение матриц.
Потом решали в общем виде систему 2 уравнений с 2 неизвестными. Получали формулы Крамера.
Я обращала внимание студентов, что в числителях и знаменателях повторяются аналогичные конструкции. Раз они такие важные -- им дано особое название "определитель".

Ну, а что он определяет... Да хотя бы число решений системы!

[ewert]

Последний раз я читал линейную алгебру (вкупе с аналитической геометрией) осенью 11-го года. Вот список экзаменационных вопросов (естественно, составленный в порядке прочтения).

Последние три вопроса, конечно, могут вызвать недоумение своим местоположением. Но я просто не уверен был, что успею их начитать, да и практическими занятиями они не покрывались; потому и отложил их на конец.

1. Определение комплексного числа. Алгебраическая форма записи.
2. Модуль комплексного числа и комплексное сопряжение, их свойства. Деление комплексных чисел.
3. Полярные координаты на плоскости и их связь с декартовыми.
4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Свойства модуля и аргумента.
5. Формулы Муавра для возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа.
6. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа.
7. Гиперболические функции и их свойства.
8. Многочлены и действия над ними. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
9. Кратность корня многочлена и её связь с производными.
10. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Разложение многочлена на вещественные и на комплексные множители.
11. Матрицы и линейные операции над ними. Транспонирование.
12. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
13. Формулы Крамера для систем линейных уравнений 2-го порядка. Определители 2-го порядка и их свойства.
14. Аксиоматическое определение определителя и его простейшие свойства.
15. Перестановки. Обратная перестановка, транспозиции, чётность перестановки.
16. Общая формула для определителя произвольного порядка. Определитель транспонированной матрицы.
17. Разложение определителя по строке (столбцу).
18. Теорема о сумме произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки.
19. Вычисление определителя методом Гаусса. Определитель треугольной матрицы.
20. Формулы Крамера для систем линейных уравнений произвольного порядка.
21. Умножение матриц и его свойства. Матричная запись системы линейных уравнений.
22. Определитель произведения матриц.
23. Обратная матрица и её свойства.
24. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
25. Решение матричных уравнений. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.
26. Векторная алгебра: линейные операции над векторами, скалярное произведение.
27. Проекция вектора на ось и компонента на оси, их связь между собой и со скалярным произведением.
28. Доказательство линейности скалярного произведения. Координатное представление скалярного произведения.
29. Векторное произведение: геометрическое определение, простейшие свойства.
30. Смешанное произведение и его свойства. Правые и левые тройки векторов.
31. Доказательство линейности векторного произведения.
32. Правые и левые системы декартовых координат. Координатные представления для векторного и смешанного произведений.
33. Двойное векторное произведение. Неассоциативность векторного произведения.
34. Уравнения плоскости в пространстве: общее, через три точки, в отрезках.
35. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
36. Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические, связь между ними.
37. Эллипс и его уравнение в декартовых координатах.
38. Гипербола и её уравнение в декартовых координатах.
39. Парабола и её уравнение в декартовых координатах.
40. Преобразования координат на плоскости: сдвиг, отражение, поворот.
41. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
42. Уравнения эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах.
43. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, конус.
44. Поверхности второго порядка: параболоиды, цилиндры.
45. Линейная независимость строк матрицы и её связь с определителем в случае квадратной матрицы.
46. Определение ранга матрицы через миноры и его связь с линейной независимостью строк (столбцов).
47. Теорема Кронекера-Капелли.

[provincialka]

Anton_Peplov в сообщении #1026815 писал(а):

эти две главы действительно лучше поменять местами

Нет, не надо их менять местами... Все-таки линейное пространство -- более абстрактное понятие, чем просто строки, столбцы и таблички из чисел! Некоторым студентам они плохо даются...
ИМХО, лучше сначала показать некоторые вещи на строках/столбцах, а уж потом давать общую теорию. (Повторенье -- мать ученья!)

[ewert]

provincialka в сообщении #1026826 писал(а):

Нет, не надо их менять местами... Все-таки линейное пространство -- более абстрактное понятие, чем просто строки, столбцы и таблички из чисел!

Смотря кому и в каком порядке давать. Математикам -- скорее всего, надо давать раньше. Математики -- они жирные коты, у них часов на математику много.

[Pphantom]

Еще один вариант - курс аналитической геометрии, идущий перед линейной алгеброй. Тогда базовые понятия, связанные с матрицами, возникнут естественным путем еще там, а затем их можно будет аккуратно формализовать.

[provincialka]

ewert в сообщении #1026845 писал(а):

Математикам -- скорее всего, надо давать раньше.

Я, честно говоря, с "чистыми" математиками не работала... А у "прикладных" часов не так-то и много... И уровень (особенно в провинции) не ахти... Но когда я занималась как репетитор, студенты просили как раз "абстрактные" понятия рассказать.. плохо их воспринимали... Это вам не метод Гаусса! (впрочем, тем, которым репетитор не нужен, может и проще "наоборот". Тут все очень индивидуально...)

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1026823 писал(а):

Начинала с систем уравнений.

Да, я тоже об этом думал. Это второй вариант, как ввести матрицы и определители естественно.

provincialka в сообщении #1026826 писал(а):

Все-таки линейное пространство -- более абстрактное понятие, чем просто строки, столбцы и таблички из чисел!

Да бросьте! Линейное пространство - это пространство векторов. Векторы все в школе проходили. Это не только конкретно, но и знакомо. А что в данном случае это не отрезок со стрелочкой, а абстрактное нечто, заданное только своими аксиомами, держать в голове не обязательно. Благо эти отрезки со стрелочками ничего, чего не было бы в абстрактном евклидовом конечномерном ЛП, в себе не содержат.

provincialka в сообщении #1026823 писал(а):

Получали формулы Крамера.

Вот это меня тоже, помнится, удивило. Зачем они вообще нужны, когда самым понятным, естественным и легким в применении является метод Гаусса? А есть еще метод обратной матрицы, это вообще бр-р.
Впрочем, определитель появляется, если мы строим линейное пространство решений системы (когда решение не одно). Зачем его строить - тоже вопрос, на который не так просто ответить вчерашнему школьнику, привыкшему, что ответ должен быть один. Но можно себе представить задачу, где мы работаем в пространстве решений СЛАУ, выбирая из них удовлетворяющие каким-то дополнительным условиям.

[Brukvalub]

Anton_Peplov, попробуйте, например, доказать "методом Гаусса" разрешимость и однозначность задачи интерполирования данных с помощью многочлена соответствующей степени, а с помощью определителя Вандермонда и формул Крамера это происходит мгновенно. И таких применений формул Крамера - масса! А определитель - это вообще "наше все", как без него считать смешанные произведения, объемы в многомерном пространстве, Якобианы при переходе от одних координат к другим в многомерном интеграле и т.п.?
Если угодно, то определитель - это единственная числовая кососимметрическая полилинейная функция строк квадратной вещественной матрицы, нормированная единицей на единичной матрице. Так лучше?

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1026876 писал(а):

Зачем они вообще нужны,

Они нужны просто потому, что формализуют решения каких-то задач в смежных разделах. Ну, скажем, в ТОЭ.

Я вообще-то их тоже ненавижу. Но если кому-то по каким-то причинам они показались полезными, то и аминь.

[Munin]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1026876 писал(а):

Векторы все в школе проходили.

Очень часто - так, что лучше бы и не проходили. Идея, что все векторы на самом деле откладываются из одной точки - из начала координат - местами даётся с большим трудом.

[Anton_Peplov]

Brukvalub в сообщении #1026879 писал(а):

попробуйте, например, доказать "методом Гаусса" разрешимость и однозначность задачи интерполирования данных с помощью многочлена соответствующей степени, а с помощью определителя Вандермонда и формул Крамера это происходит мгновенно. И таких применений формул Крамера - масса! А определитель - это вообще "наше все", как без него считать смешанные произведения, объемы в многомерном пространстве, Якобианы при переходе от одних координат к другим в многомерном интеграле и т.п.?

Я не отрицаю, что и определитель, и формулы Крамера имеют многочисленные применения. Их не включали бы в обязательные курсы математики на всех факультетах, где она вообще есть, если бы это было не так.

Я говорю о том, что в момент изучения линейной алгебры студент всего этого не знает. И узнает не скоро - так не скоро, что ему придется лезть в учебник и вспоминать, с чем кушать это блюдо. А поскольку определитель - штука громоздкая, трудоемкая и очень глубоко неочевидная (мне, по крайней мере; а кто без объяснений и примеров сам понял, что он и зачем нужен - пусть бросит в меня камень), то полезно проиллюстрировать, откуда он берется. Так материал просто лучше усвоится. Определитель проще всего проиллюстрировать через векторы ЛП или СЛАУ, а Крамера - уж и не знаю, через что.

Brukvalub в сообщении #1026879 писал(а):

определитель - это единственная числовая кососимметрическая полилинейная функция строк квадратной вещественной матрицы, нормированная единицей на единичной матрице. Так лучше?

Мне - гораздо лучше. Это надо еще осмыслить, потому что про ту же кососимметричность я пока тоже не вполне понимаю, откуда у нее растут ноги и зачем она, но, по крайней мере, знаю, что это. Студенту на третьей в его жизни лекции по линалу - не лучше, потому что он ни кососимметричность, ни полилинейность еще не проходил и не факт, что дойдет до них в этом семестре. А если он не математик, то, вполне возможно, вообще никогда не дойдет.

-- 14.06.2015, 02:03 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1026883 писал(а):

Идея, что все векторы на самом деле откладываются из одной точки - из начала координат - местами даётся с большим трудом.

О да. Помнится, я тоже в первое время понять не мог, как это мы получаем координаты вектора, просто вычитая из координат конца координаты начала. Ведь равные векторы будут иметь одинаковые координаты, даже если отложены из разных точек! :)))

ewert в сообщении #1026882 писал(а):

Ну, скажем, в ТОЭ.

ТОЭ - теория обработки эксперимента? Это я по смыслу, гугл мне выдал "теоретические основы электротехники", чем удивил:)

[Munin]

(Оффтоп)

Вспомнилось:

Профессор Снэйп в сообщении #371197 писал(а):

P. S. Помню, пытался как-то научить физматшкольников основам ангема. Ребята были, в общем-то способные, но на этой теме затупили. Я им и так, и эдак, пытаюсь что-то рисовать на доске и постепенно выхожу из себя. В конце-концов вытягиваю вперёд кулак с разогнутым средним пальцем и восклицаю: "Вы думаете, что вектор --- это вот такой торчащий отрезок?!" Они хором: "Да!" Я: "Нет, вектор --- это не отрезок, это точка! Элемент векторного пространства!" После этого, как ни странно, дошло :-)

Я не понимаю, нахрена в школе, как только появляются векторы, тут же пытаются разложить их по координатам. И мусолят по полстаницы: вектора складываются, значит, координата $x$ первого вектора прибавляется к координате $y$ первого вектора, координата $y$... Может, в некоторых случаях это и бывает оправдано, но сплошь и рядом встречаются ситуации, когда возникает некое векторное уравнение, которое лучше сначала решить для векторов как абстрактных объектов с ассоциативным коммутативным сложением и дистрибутивным умножением на скаляр, а затем уже, имея записанный в векторном виде ответ, искать координаты. Нет, зачем-то расписывают систему, с отдельным уравнением для каждой координаты, затем решают её как систему...

Впрочем, все эти причитания надо в раздел о преподавании.

(R.I.P. Профессор Снэйп)

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1026887 писал(а):

Мне - гораздо лучше. Это надо еще осмыслить, потому что про ту же кососимметричность я пока тоже не вполне понимаю, откуда у нее растут ноги и зачем она, но, по крайней мере, знаю, что это.

Смотрите: определитель — это типа ориентированный объём. Ориентированный — вот и ровно кососимметричность. Полилинейность тоже можно понять откуда. И нормированность: хотим, чтобы у кубика с рёбрами по 1 был единичный объём.

А вот с какой такой стати мы разбираем матрицу оператора на строки…

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1026879 писал(а):

а с помощью определителя Вандермонда и формул Крамера это происходит мгновенно.

С их помощью как раз довольно уныло. А вот с помощью многочлена Лагранжа -- и дёшево, и сердито.