Уравнение Клейна-Гордона-Фока

[Munin]

Sicker в сообщении #1026672 писал(а):

И Направление импульса остается прежним

Так мы же про направление скорости, вроде.

-- 13.06.2015 16:43:56 --

Sicker в сообщении #1026672 писал(а):

По верхней ветке $\frac{dw}{dk}=\frac{kc^2}{\sqrt{\frac{m^2 c^4}{\hbar^2}+k^2 c^2}}$
По нижней ветке $\frac{dw}{dk}=-\frac{kc^2}{\sqrt{\frac{m^2 c^4}{\hbar^2}+k^2 c^2}}$

Это хорошо. Но пока не прозрачно.

[Cos(x-pi/2)]

Пока у меня появилась возможность, попробую наметить топик-стартеру путь к прозрачности (если получится :-)

Sicker

Помнится, мы недавно подобный же Ваш вопрос разобрали в связи с формулами из ЛЛ-2; и там Вы, вроде, достигли понимания. Дык, здесь всё примерно то же самое (если не обращать внимания на тип поля: скалярное оно, или векторное, или спинорное... - здесь не играет роли). Только теперь формула для зависимости частоты $\omega_{\mathbf{k}}$ от волнового вектора немножко другая - она содержит параметр $m$ - массу частицы, являющейся квантом данного свободного поля.

Чтобы не запутаться, эту функцию $\omega_{\mathbf{k}}$ всегда считайте положительной; будучи умноженной на постоянную Планка, она равна энергии частицы-кванта:

$ \hbar \omega_{\mathbf{k}}=+ \sqrt{(mc^2)^2+(c \hbar \mathbf{k})^2}$ - в теориях с уравнением К.-Г., или Дирака, и вообще в теориях свободных массивных частиц.


$ \hbar \omega_{\mathbf{k}}=+ \sqrt{(c \hbar \mathbf{k})^2}=c \hbar | \mathbf{k}|=c| \mathbf{p}|$ - в КЭД и вообще в теориях безмассовых частиц (т.е. при $m=0$).

Обратите внимание: волновой вектор кванта (и его импульс $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$) это именно трёхмерный вектор, он обозначается жирной буквой или буквой со стрелочкой и описывается тремя своими компонентами (например, $k_x,k_y,k_z,$) а скалярная величина вектора определяется через "квадрат" вектора, т.е. через скалярное произведение вектора самого на себя $\mathbf{k}^2=\mathbf{k \cdot k}:$

$| \mathbf{k}|=+ \sqrt{\mathbf{k}^2}=\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}=k$ .

Обычной, "тонкой" буквой $k$ без индексов принято обозначать именно величину вектора. Её не надо путать с компонентами вектора и с самим вектором! Однако многие студенты весьма небрежны, ленивы и торопливы - сколько их ни уговаривай быть предельно аккуратными с записью и обдумыванием формул, они ленятся ставить в конспектах стрелочку для обозначения вектора; и в результате не понимают, чего там написалось в тетрадке (а привыкнув к своим неполноценным записям, затем не понимают и формул в книжках).

В частности, упомянутые студенты не всегда понимают, что производная $d \omega /dk$ от какой-то, понимаешь ли, омеги - не то же самое, что три производных по трём компонентам волнового вектора от положительной функции $\omega_{\mathbf{k}},$ которые на самом-то деле и являются компонентами вектора групповой скорости $\mathbf{v_k}:$

$\mathbf{v_k}=\operatorname{grad}_{\mathbf{k}} \omega_{\mathbf{k}}$ .

В нашем случае получается вектор

$\mathbf{v_k}=\dfrac{c^2 \mathbf{k}}{\omega_{\mathbf{k}}}$ ,

как видно, всегда совпадающий по направлению с вектором импульса $\hbar \mathbf{k}.$



Напомню также наше старое обсуждение в том топике - о решениях релятивистских уравнений свободных полей. Для таких уравнений характерно то, что общее решение представляется суперпозицией (линейной комбинацией) независимых частных решений, причём зависимость от времени у частных решений можно выбрать в форме двух линейно независимых функций вида $e^{-i \omega t}$ с двумя знаками частоты:

$\omega = \omega_{\mathbf{k}}$ для положительно-частотного решения $ \sim e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t}$ ,

$\omega = -\omega_{\mathbf{k}}$ для отрицательно-частотного решения $ \sim e^{+i \omega_{\mathbf{k}} t}$

с заданным волновым вектором $\mathbf{k}.$

Как воспользоваться этими решениями? Ответ разный в КТП и в классической теории поля. В КТП указанные два типа зависимости от времени войдут в гейзенберговские операторы поля, описывающие поглощение кванта энергии-импульса $(\hbar \omega_{\mathbf{k}}, \hbar \mathbf{k})$ детектором и рождение кванта источником. В классической же теории сами полевые конфигурации рассмативаются как интересующие нас "физические величины".

Пусть мы в классической теории поля интересуемся вещественным решением (например, ур-я К.-Г.) Тогда нам очевидно, что скалярное вещественное частное решение с заданным вектором $\mathbf{k}$ можно взять в виде

$b_{\mathbf{k}}e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t+i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}+b_{\mathbf{k}}^*e^{i \omega_{\mathbf{k}} t-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}=2|b_{\mathbf{k}}| \cos(\omega_{\mathbf{k}} t-\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \beta_{\mathbf{k}})$ ,

где $b_{\mathbf{k}}=|b_{\mathbf{k}}|e^{i \beta_{\mathbf{k}}}$ есть произвольная комплексная амплитуда,

а общее решение будет иметь вид суммы таких частных решений по всем волновым векторам $\mathbf{k}.$

Обратите внимание: сюда вошли экспоненты с частотами обоих знаков. Но это не значит, что теперь стала "двузначной" групповая скорость! Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть какой-нибудь простейший волновой пакет. Например, пусть все амплитуды равны нулю, кроме амплитуды $b_{\mathbf{k}_0}=1$ и равных единице амплитуд с близкими (по величине) к $\mathbf{k}_0$ волновыми векторами в том же направлении. Тогда в направлении этих волновых векторов мы выберем ось $x,$ и расчёт волнового пакета сведётся к стандартной студенческой задачке - к приближённому вычислению одномерного интеграла вида

$\int \limits_{k_0-\delta k/2}^{k_0+\delta k/2} \cos(\omega_{k_x}t-k_xx) \, dk_x $

Очевидно, это то же самое, что взять вещественную часть от приближённо вычисленного аналогичного интеграла, но с экспонентой $e^{i \omega_{\mathbf{k}} t-ik_xx}$ вместо косинуса. Ес-нно, в ответе получим характерную картинку: пакет "с коротковолновым косинусным наполнением" и с плавной огибающей типа "sinc-функции"

$\dfrac{\sin [ \delta k (x - v_xt)]}{\delta k (x - v_xt)}$

мчится со скоростью

$v_x=\frac{c^2|\mathbf{k}_0|}{\sqrt{(mc^2/ \hbar)^2+(ck_0)^2}}$ ,
$v_y=0$ ,
$v_z=0$ .

Т.е., как и должно быть, пакет мчится в направлении заданного волнового вектора $\mathbf{k}_0,$ со скоростью $\mathbf{v}=c^2 \mathbf{k}_0/ \omega_{\mathbf{k}_0}.$

(Наверное, теперь педагогически правильным и даже необходимым будет попросить ТС сделать расчётик волнового пакета подробно :-))

(Оффтоп)

Однако, не смогу своевременно поддерживать беседы: появилась проблема с подключением к интернету; чего-то там у нас взялись длительно ремонтировать... :-(

[Sicker]

Ага, те у положительно-частотных и отрицательно частотных с одинаковыми $k$ одна групповая скорость...
Те оператор импульса имеет вырождение кратности два?
А если мы возьмем сумму этих двух решений, то мы получим волновую функцию, описывающею частицу с определенной скоростью и импульсом, но не с определенной энергией?

[Cos(x-pi/2)]

Вы сначала чётко для себя определите, какую науку Вы разбираете (и какую задачу в ней).

Если Кв. Механику, то там да, есть волновые функции частицы, но они всегда одной "частотности": типа $e^{-iEt/ \hbar},$ где $E$ - энергия частицы, хоть положительная, хоть отрицательная (это зависит от того, связанное состояние частицы или нет, и где выбран ноль отсчёта на шкале энергии); притом в Кв. Мех. нет ур-я К.-Г., а есть у. Ш. для частицы.

В КТП же полевая функция не есть волновая функция частицы. Решения волнового ур-я в КТП служат ещё более вспомогательным элементом математического языка квантовой теории, чем волновые функции в Кв.М; они нужны, чтобы через них выражать "пропагаторы", функции Грина, чтобы построить операторы рождения/уничтожения частиц. Сумма нескольких полевых функций в КТП не описывает состояние одной частицы с неопределённым импульсом или энергией (как было бы в квантовой механике для суммы волновых функций разных стационарных состояний частицы), а приобретает смысл полевого оператора, который может в расчётах действовать на то или иное состояние поля. Состояние поля в КТП описывается вовсе не решениями того или иного волнового уравнения; состояние квантованного поля это отдельное понятие.

Притом результат действия оператора поля зависит не только от того, какие слагаемые в полевой функции Вы взяли, но и от того, на какое состояние поля оператор действует. Энергия свободного поля равна сумме по всем волновым векторам (и по "сортам" частиц, если поле многокомпонентное или/и комплексное) величин вида $\hbar \omega_{\mathbf{k}}n_{\mathbf{k}},$ где $n_{\mathbf{k}}$ - количество квантов данного сорта. Вот этими-то количествами квантов (т.н. "числами заполнения" одночастичных состояний) и описывается состояние поля, независимо от того, как записать оператор поля. Т.е. тут всё сложнее, чем Вам хотелось бы видеть после знакомства с одночастичной Кв.М. :-) Тут всё очень похоже на метод вторичного квантования в квантовой механике многочастичных систем.

Ну, а в классической теории поля частицы вообще не при делах. Энергия поля вычисляется по заданной полевой функции как интеграл от объёмной плотности энергии; никаких разговоров о "неопределённости" импульса или энергии частицы в классической теории поля принципиально нет, ибо и понятия "квант" нет.

[Sicker]

Cos(x-pi/2)
Но это же релятивистская версия уравнения Шредингера, точнее он сам из нее вывел свое уравнение.
А мы что, не можем описывать квантовые релятивистские частицы без заморочек с полями?

[Cos(x-pi/2)]

Sicker
Нет, строго говоря, нельзя утверждать, что уравнение КГ (и также уравнение Дирака) это релятивистская версия уравнения Шредингера. Почему нельзя - почитайте подробно в учебниках по КТП, а я здесь могу напомнить кратенько только одно тому препятствие.

Дело в том, что для настоящих физиков термины "релятивистская" теория и "квантовая" теория это о-о-чень обязывающие слова. В них затрагиваются фундаментальные принципы нашего понимания природы (а не просто одна формулка для частоты).

В частности, в квантовой теории требуется, чтобы квадрат модуля волновой функции $| \psi|^2,$ который по определению не может быть отрицательным, был бы плотностью вероятности (обнаружения частицы).

А в релятивистской теории требуется, чтобы плотность вероятности была временной компонентой 4-вектора геометрии Минковского, т.е. 4-ток вероятности должен преобразовываться при изменении ИСО по преобразованиям Лоренца аналогично преобразованиям 4-координат точек пространства-времени. Это пол-правды. Вторая же порция жестокой правды заключается в том, что само решение релятивистского полевого уравнения должно преобразовываться, в зависимости от вида уравнения, тоже по некоторому представлению группы Лоренца.

А теперь смотрите, что имеем. Оператор волнового уравнения КГ форм-инвариантен к преобразованиям Лоренца. Поэтому, чтобы ур-е КГ оставалось форм-инвариантным (т.е. не меняло бы своего вида при переходе к другим ИСО), надо чтобы и сама полевая конфигурация, являющаяся его решением, была бы скаляром относительно группы Лоренца. Значит, квадрат модуля "волновой функции" КГ никак не может быть компонентой 4-вектора. А значит, он не может быть плотностью вероятности! Вот поэтому решения у. КГ и не являются "релятивистским обобщением" волновых функций обычной квантовой механики.

Такая ситуация характерна для всех релятивистских волновых уравнений: из их решений не удаётся составить положительную плотность вероятности, должным образом преобразующуюся при преобразованиях Лоренца. И если эту ниточку потянуть дальше, то клубок распутывается, превращаясь именно в КТП.

[Munin]

Sicker в сообщении #1026799 писал(а):

А мы что, не можем описывать квантовые релятивистские частицы без заморочек с полями?

Наконец-то до него допёрло!!!

[Sicker]

Всем спасибо за участие

-- 13.06.2015, 22:55 --

(Оффтоп)

А в википудии написана хрень чтоли?

[Munin]

Sicker в сообщении #1026847 писал(а):

А в википудии написана хрень чтоли?

Вам это ещё на первой странице сказали.

[Sicker]

А как же комментарий fizeg?

[Munin]

Он не для того, чтобы вы себя молодцом чувствовали.