2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение05.06.2015, 23:29 


02/06/15
5
Задача.

Пусть есть поверхность $r(u, v)$, в каждой её точке известны кривизны $K(X)$ и $H(X)$ (гауссова кривизна и средняя кривизна). Рассмотрим поверхность $r_1 (u, v) = r(u, v) + a \cdot n(u, v)$, где $n(u, v) = \frac{r_u \times r_v}{\mid r_u \times r_v \mid}$ - вектор нормали, $a$ - константа. Нужно выразить гауссовы и среднюю кривизны второй поверхности (сдвинутой на нормаль) через эти же кривизны исходной поверхности.

Что я попытался сделать. Вычислить первую и вторую квадратичные формы второй поверхности, частные производные нормали вычисляя по правилу Лейбница (которое верно для векторного произведения), потом пытался как-то скомбинировать матрицы этих форм, чтобы вычленить из них кривизны, но получаются очень сложные выражения, выделить кривизны исходной поверхности в них не удаётся.

Буду рад любым идеям по поводу этой задачи, возможно я неправильно начал её решать, но других идей пока у меня вообще нет. Вычислял это для исходной поверхности - 2-сферы, частный случай, но как результат обобщить на произвольную поверхность пока понять не удалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение06.06.2015, 00:42 
Заслуженный участник


23/07/08
7667
Харьков
Я напишу в своих обозначениях (но Вас это ни к чему не обязывает).
$\mathbf{\bar r}=\mathbf r+a\mathbf n$
Отсюда
$\mathbf n\cdot\mathbf {\bar r}_u=\mathbf n\cdot\mathbf r_u+a\mathbf n\cdot\mathbf n_u$
$\mathbf n\cdot\mathbf {\bar r}_v=\mathbf n\cdot\mathbf r_v+a\mathbf n\cdot\mathbf n_v$
В правой части первые слагаемые равны нулю, так как $\mathbf n\perp\mathbf r_u$ и $\mathbf n\perp\mathbf r_v$, а вторые равны нулю, потому что производная $\mathbf n\cdot\mathbf n=1$ по $u$ или $v$ равна нулю.
Следовательно, для соответствующих друг другу точек $\mathbf{\bar r}(u, v)$ и $\mathbf{r}(u, v)$ нормаль общая:
$\mathbf{\bar n}(u, v)=\mathbf{n}(u, v)$.
Следовательно, $\mathbf{\bar n}_u=\mathbf{n}_u$ и $\mathbf{\bar n}_v=\mathbf{n}_v$.

Так как
$\mathbf n_u\cdot\mathbf n=\mathbf r_u\cdot\mathbf n=\mathbf r_v\cdot\mathbf n=0$,
вектор $\mathbf n_u$ (и аналогично $\mathbf n_v$) является линейной комбинацией $\mathbf r_u$ и $\mathbf r_v$, и можно попытаться найти коэффициенты разложения.

Но это только начало, а всё решение всё равно получается громоздкое, в одном из известных задачников оно «размазано» по трём или четырём задачам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение06.06.2015, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Для начала запишите деривационные уравнения в общей форме. Потом присмотритесь к производным нормали. С учётом совпадения нормалей для старой и новой поверхностей можно сразу получить некоторое соотношение на вторые квадратичные формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение06.06.2015, 13:39 


02/06/15
5
Утундрий в сообщении #1023927 писал(а):
Для начала запишите деривационные уравнения в общей форме. Потом присмотритесь к производным нормали. С учётом совпадения нормалей для старой и новой поверхностей можно сразу получить некоторое соотношение на вторые квадратичные формы.


Деривационные уравнения записал, далее использовал тот факт, что $r_1, r_2, n$ составляют базис, и выделил коэффициенты разложения при нормали $n$ (индексами $1, 2$ тут обозначена частная производная по $u, v$). Из этих равенств получается следующее соотношение на вторую квадратичную форму:

$\widetilde{b_{ij}} = b_{ij} + a \cdot <n_{ij}, n>$

дифференцируя равенство $<n_i, n> = 0$, скалярное произведение $<n_{ij}, n>$ можно переписать как $-<n_i, n_j> = -I(n_i, n_j)$, откуда:

$\widetilde{b_{ij}} = b_{ij} - a \cdot I(n_i, n_j)$

таким образом, вторая квадратичная форма сдвинутой поверхности есть $II - a \cdot I_1$, где $I_1$ - матрица первой квадратичной формы исходной поверхности, но взятая в другом базисе: $n_1, n_2$. Если бы была в том же базисе, было бы очень хорошо, но получилось в базисе, состоящем из производных вектора нормали.

Как можно проанализировать длины $n_1, n_2$ ? Или может лучше как-то попытаться изучить напрямую $<n_{ij}, n>$ ?

Фактически нужно как-то вычислить производные нормали и найти коэффициент их разложения при $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение06.06.2015, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
У вас любопытная нотация. Если бы я уже не решил задачу в стандартных тензорных обозначениях, то вообще не понял бы о чём у вас идёт речь. Забудьте о дважды ковариантной $b$, вам нужны смешанные компоненты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение08.06.2015, 10:25 


02/06/15
5
Утундрий в сообщении #1024002 писал(а):
У вас любопытная нотация. Если бы я уже не решил задачу в стандартных тензорных обозначениях, то вообще не понял бы о чём у вас идёт речь. Забудьте о дважды ковариантной $b$, вам нужны смешанные компоненты.


Что у меня не так с нотацией ? Это не обидка, просто хочу работать с правильными общепринятыми обозначениями, чтобы легче понимали меня и я легче других понимал :wink:

Как можно забыть про b, это же вторая кв. форма поверхности, которую нам и надо вычислить, чтобы потом искать кривизны (ещё отдельный вопрос, как найти первую форму, я прикинул, там не всё так легко, как показалось вначале) ?

Или вы предлагаете напрямую исследовать $II \cdot I^{-1}$ - это уже будет как раз тензор типа $(1, 1)$, след и определитель которого и являются искомыми кривизнами ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение08.06.2015, 10:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Да. К тому же, он сразу в готовом виде появляется из выражения для производной нормали. Запишите его сюда и станет понятней, куда двигаться дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение08.06.2015, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Ну вот, поскольку ${\mathbf{r}}_{,\mu \nu }  = \Gamma _{\mu \nu }^\beta   \cdot {\mathbf{r}}_{,\beta }  + b_{\mu \nu }  \cdot {\mathbf{n}}$ и вдобавок $\left\langle {{\mathbf{n}},{\mathbf{n}}} \right\rangle  = 1$ и $\left\langle {{\mathbf{n}},{\mathbf{r}}_{,\mu } } \right\rangle  = 0$, то ${\mathbf{n}}_{,\mu }  =  - b_\mu ^\beta   \cdot {\mathbf{r}}_{,\beta }$. Теперь, учитывая что ${\mathbf{\tilde r}} = {\mathbf{r}} + a \cdot {\mathbf{n}}$, можно найти ${\mathbf{\tilde r}}_{,\mu }  = \left( {\delta _\mu ^\beta   - a \cdot b_\mu ^\beta  } \right) \cdot {\mathbf{r}}_{,\beta } $. Это ровно и значит, что ${\mathbf{\tilde n}} = {\mathbf{n}}$, что уже было сказано svv выше. Осталось продифференцировать последнее равенство и мы получим...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение10.06.2015, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
И как, есть сдвиги? Столь длительное зависание посреди пути несколько настораживает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по дифференциальной геометрии 2-поверхностей
Сообщение11.06.2015, 13:16 
Заслуженный участник


23/07/08
7667
Харьков

(Оффтоп)

Возможно, задача потеряла для него актуальность (в абсолютном или относительном смысле).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group