Переход к пределу объединения множеств

[EgZvor]

Пусть дана последовательность множеств $A_n$, будет ли верно следующее
$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_n=\lim\limits_{N\to\infty}\bigcup\limits_{k=1}^{N}A_n$ ?
Есть ли вообще понятие предела множества или что-то подобное, где можно почитать об этом?

[kp9r4d]

Предел последовательности множеств.

[arseniiv]

EgZvor
У вас переменные суммирования объединения — $k$, а внутри стоят $A_n$.

Ну и, если вдруг кому нужно, кратко по-русски и с альтернативными обозначениями:

Верхний предел $\displaystyle{\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty} A_n \equiv \limsup\limits_{n\to\infty} A_n = \bigcap\limits_{m=0}^\infty\bigcup\limits_{k=m}^\infty A_k}$.

Нижний предел $\displaystyle{\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty} A_n \equiv \liminf\limits_{n\to\infty} A_n = \bigcup\limits_{m=0}^\infty\bigcap\limits_{k=m}^\infty A_k}$.

Предел $\displaystyle{\lim\limits_{n\to\infty} A_n}$ существует тогда, когда они равны, и равен им обоим.

Если книгу и по-русски, могу только старое посоветовать (ничего новее почему-то у меня не нашлось ): гл. IV §2. Операции на бесконечных последовательностях множеств (перевода) «Теории множеств» Куратовского, Мостовского (сначала проконсультируйтесь с началом книги — например, там кванторы $\forall x,\exists x$ обозначаются как $\bigwedge\limits_x,\bigvee\limits_x$).

[EgZvor]

kp9r4d
arseniiv
Спасибо