Интуитивное понимание основ функционального анализа

[Flaminga]

Доброго времени суток. В ходе сессии назрел вопрос о понимании сути кообраза и коразмерности:
$coimT = X/KerT$ - правильно ли я понимаю,что кообраз состоит из 2х классов эквивалентности: в одном лежат элементы пространства, попавшие в ядро, во втором - непопавшие?
$codimY = dim (X/Y)$, где Y - подпространтсво Х. С определением коразмерности совсем непонятно

[Otta]

Складывается впечатление, что в первую очередь непонятно определение класса эквивалентности и фактор-пространства. :(

[Munin]

Представим себе коробку $5\times 5$ апельсинов:

$$\begin{array}{|c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c|}\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc\\\hline\end{array}$$

Пусть отображение схлопывает каждый ряд в один апельсин. Тогда ядром будет пять апельсинов, скажем, в верхнем ряду. Образом - будет столбец из пяти апельсинов. А ко-образом - столбец из пяти горизонтальных рядов (каждый из которых - класс эквивалентности).

[Flaminga]

Otta в сообщении #1025344 писал(а):

Складывается впечатление, что в первую очередь непонятно определение класса эквивалентности и фактор-пространства. :(

Да вроде их понимаю) Класс эквивалентности элемента х - это множество элементов пространства, состоящих с х в отношении эквивалентности.

Фактор-пространство - множество всех классов эквивалентности. Т.е. разбиение всего пр-ва на непересекающиеся эл-ты

-- 09.06.2015, 20:48 --

Munin в сообщении #1025352 писал(а):

Пусть отображение схлопывает каждый ряд в один апельсин. Тогда ядром будет пять апельсинов, скажем, в верхнем ряду. Образом - будет столбец из пяти апельсинов. А ко-образом - столбец из пяти горизонтальных рядов (каждый из которых - класс эквивалентности).

Почему ядро не 4 апельсина? Ведь их в ноль обращаем. Образ понятен.

[ewert]

Ну хорошо. Теперь образчик понимания:

Flaminga в сообщении #1025334 писал(а):

$coimT = X/KerT$ - правильно ли я понимаю,что кообраз состоит из 2х классов эквивалентности

Немедленно возникают два вопроса: где там двойка -- и что такое чёрточка?...

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Боюсь, что коробки с апельсинами это не очень удачный пример. Они не являются линейным пространством. А ядро отображения $f:X\to Y$ в случае произвольных множеств, опрелеляется как отношение $\ker f=\{(x',x'')\in X\times X\mid f(x')=f(x'')\}$, которое является эквивалентностью. И для того чтоб соотнести это с ядром линейного отображения нужно некоторое усилие.

[Flaminga]

ewert в сообщении #1025361 писал(а):

Ну хорошо. Теперь образчик понимания:

Flaminga в сообщении #1025334 писал(а):

$coimT = X/KerT$ - правильно ли я понимаю,что кообраз состоит из 2х классов эквивалентности

Немедленно возникают два вопроса: где там двойка -- и что такое чёрточка?...

Черточка - это факторизация, т.е. мы разделяем эл-ты пространства по признаку(отношение экв-ти) - попадание в ядро и непопадание в ядро. Т.е. все элементы, попавшие в ядро эквивалентны.

-- 09.06.2015, 20:55 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1025362 писал(а):

(Оффтоп)

Боюсь, что коробки с апельсинами это не очень удачный пример. Они не являются линейным пространством. А ядро отображения $f:X\to Y$ в общем случае опрелеляется как отношение $\ker f=\{(x',x'')\in X\times X\mid f(x')=f(x'')\}$, которое является эквивалентностью. И для того чтоб соотнести это с ядром линейного отображения нужно некоторое усилие.

А, так здесь классы эквивалентности получаются так: каждый класс - элементы пространства, у которых совпадает образ?

[ewert]

Flaminga в сообщении #1025363 писал(а):

Черточка - это факторизация

Это-то да. А Вы не находите, что эти слова категорически не согласуются ни с какой двойкой?...

(ну кроме как на экзамене, если произнести всё это одновременно)

[Flaminga]

ewert в сообщении #1025365 писал(а):

Это-то да. А Вы не находите, что эти слова категорически не согласуются ни с какой двойкой?...

(ну кроме как на экзамене, если произнести всё это одновременно)

:) Этого я сейчас и стараюсь избежать. Тогда будет не два, а столько классов, сколько различных образов у оператора?

[Munin]

Flaminga в сообщении #1025358 писал(а):

Почему ядро не 4 апельсина?

Потому что вот здесь:

Flaminga в сообщении #1025358 писал(а):

Класс эквивалентности элемента х - это множество элементов пространства, состоящих с х в отношении эквивалентности.

надо не забывать и про сам элемент $x.$

-- 09.06.2015 20:12:46 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1025362 писал(а):

Боюсь, что коробки с апельсинами это не очень удачный пример.

Ну хоть какой-то... Вообще, я рассчитывал на "а-а-а, понятно" и конец темы. Настаивать на своём примере не собираюсь, это и в самом деле примитивизация на уровне "сено - солома"...

-- 09.06.2015 20:15:05 --

P. S. На экзамен надо знать дословные определения, а не "интуитивного понимания" искать. Его надо было вырабатывать в течение семестра, а если сейчас нет - то поздно уже. Быстро оно не возникает.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1025372 писал(а):

Вообще, я рассчитывал на "а-а-а, понятно"

вот именно. на форуме имхо появились сразу несколько тем, которые доставляют примеры необучаемости. кроме этой темы еще topic98379.html
topic98279.html
заранее ясно , что ни кто этим господам ничего не растолкует, потому, что это просто невозможно
зачем эти люди идут на физмат факультеты -- загадка.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1025412 писал(а):

заранее ясно , что ни кто этим господам ничего не растолкует, потому, что это просто невозможно

Конкретно этот мембер -- явно понимал, что спрашивал. Он спрашивал не формализацию, а именно интуитивное понимание. Которое далеко не всегда бессмысленно, прошу прощения у махровых теоретиков.

И последний его вопрос -- явно осмыслен. Правда, так сходу не скажу, насколько: мне завтра рано вставать.

[Flaminga]

Munin в сообщении #1025372 писал(а):

P. S. На экзамен надо знать дословные определения, а не "интуитивного понимания" искать. Его надо было вырабатывать в течение семестра, а если сейчас нет - то поздно уже. Быстро оно не возникает.

Говорить дословное определение, не понимая сути происходящего, не есть хорошо. Спасибо за пример с апельсинами. Немного прояснилось.

[provincialka]

Flaminga
А вы рассмотрите еще проекцию. Скажем, трехмерное пространство проецируем на плоскость параллельно прямой $a$, проходящей через 0. Тогда точки прямой будут составлять ядро этого отображения. А фактор-пространство будет состоять из прямых, параллельных $a$.
Вопрос: какова будет размерность этого фактор-пространства?

[Flaminga]

provincialka в сообщении #1025432 писал(а):

Flaminga
А вы еще рассмотрите еще проекцию. Скажем, трехмерное пространство проецируем на плоскость параллельно прямой $a$, проходящей через 0. Тогда точки прямой будут составлять ядро этого отображения. А фактор-пространство будет состоять из прямых, параллельных $a$.
Вопрос: какова будет размерность этого фактор-пространства?

Одномерное?