Закон Архимеда

[ewert]

Amw в сообщении #1024723 писал(а):

А для любого конечного диаметра формулы одинаковые, хоть он меньше длины, хоть больше. Любой однородный цилиндр будет плавать под некоторым углом.

Вы очень правильно выделили второе утверждение -- оно справедливо. В отличие от первого. Формулы будут разными просто из-за негладкости границы. Бревно и диск плавают всё-таки по-разному, т.е. срез воды пересекает разные участки границы.

Впрочем, свободно плавающие цилиндры к теме всё равно не имеют отношения.

[Munin]

DimaM в сообщении #1024754 писал(а):

Вертикальное положение устойчиво, когда центр погруженной части

Вы тоже ссылку про метацентр не читали? Или посчитали его в уме?

[ewert]

У цилиндра всё-таки довольно простая форма, так что тут можно и без метацентров.

[Skeptic]

ewert, вы забыли про объём поплавка. В наклонном положении поплавка его ЦВ никогда не будет лежать на оси поплавка, где находится ЦТ сил, топяших поплавок, но в центре вертикального по оси сечения, ниже ЦТ по вертикали.

[ewert]

Я ничего не забывал. Если бы срез воды поворачивался вместе с осью цилиндра, оставаясь перпендикулярным оси, то появлялся бы чистый опрокидывающий момент силы Архимеда. Из-за того, что срез остаётся горизонтальным, добавляется некий восстанавливающий момент; однако он имеет более высокий порядок малости относительно угла наклона, чем основное слагаемое. Поэтому вертикальное положение будет всё-таки неустойчивым. Вот если наклонять дальше, то поправка может уже оказаться сопоставимой, так что некоторое наклонное положение будет устойчивым.

Это если цилиндр низкий. Если он высокий, т.е. длинный, то анализ немного более сложный, но ситуация примерно такая же. Во всяком случае, она ровно такая же, если средняя плотность цилиндра равна половине.

[Skeptic]

DimaM в сообщении #1024754 писал(а):

Возьмем длинный цилиндр массы $m$, который вдвое легче воды. Без груза он погрузится наполовину (обозначим половину длины $l$), с грузом $m_1$, закрепленным на нижнем конце - на глубину $l+x$. Вертикальное положение устойчиво, когда центр погруженной части (расположенным на расстоянии $(l+x)/2$ от края) будет совпадать с центром масс, который расположен на $lm/(m+m_1)$ от края. Добавим условие равновесия $x=m_1l/m$, и получим уравнение

$$\frac{(m+m_1)l}{2m}=\frac{lm}{m+m_1}.$$

Из него получается $(m+m_1)^2=2m^2$, и $m_1=(\sqrt{2}-1)m$.

Для того чтобы ЦТ и ЦВ совпали надо обеспечить равенство объёмов поплавка в целом и его подводной части. Это будет, если поплавок огружен весом, равным собственному весу. Т.е. $m_1=m$.

[ewert]

Skeptic в сообщении #1024864 писал(а):

Для того чтобы ЦТ и ЦВ совпали надо обеспечить равенство объёмов поплавка в целом и его подводной части.

Нет: при добавлении грузика центр тяжести изменится.

[amon]

ewert в сообщении #1024813 писал(а):

У цилиндра всё-таки довольно простая форма, так что тут можно и без метацентров.

И тем не менее. Плавает длинная и тонкая цилиндрическая палка (пока просто на поверхности). Если палка плавает горизонтально, то центр тяжести и плавучести (по-моему, официально именуемый центр водоизмещение) находятся на одной вертикальной прямой, и момента не создают. Так что горизонтальное положение всяко является положением равновесия, осталось разобраться с устойчивостью. Опустим один конец палки. Центр плавучести "убежит" к опущенному концу. Появится момент, возвращающий палку, либо наоборот. Разобраться в этом можно, найдя точку пересечения прямой, перпендикулярной поверхности воды и проходящей через новый центр плавучести со "старой" прямой:

Вложение:

MetaCenter.GIF [ 5.01 Кб | Просмотров: 1267 ]

Если метацентр оказался выше центра тяжести, то равновесие устойчиво. По этой причине длинная тонкая палка плавает строго горизонтально, а короткая толстая - по всякому. Другим положением равновесия для длинного тонкого цилиндра будет вертикальное, но оно не устойчиво.
Теперь привяжем к концу палки груз на длинной нити нулевой плавучести. Увеличивая длину нити всегда можно опустить центр тяжести системы ниже метацентра с помощью сколь угодно малого груза (в теории), и сделать устойчивым вертикальное положение. У уважаемого DimaM груз крепился к концу поплавка, и условие равновесия было упрощено (если центр тяжести ниже центра плавучести, то равновесие устойчиво, но обратное неверно).

[ewert]

amon в сообщении #1024882 писал(а):

По этой причине длинная тонкая палка плавает строго горизонтально

По какой причине -- по причине "если"?...

"Центр плавучести" в любом случае ниже центра тяжести и, следовательно, сам по себе создаст опрокидывающий момент. Поправка же из-за перекоса уровня при малых углах наклона -- много меньше и воспрепятствовать опрокидыванию не сможет. С увеличением длины это опрокидывание будет лишь прекращаться всё раньше и раньше, качественно же поведение меняться не будет.

[amon]

ewert в сообщении #1024892 писал(а):

"Центр плавучести" в любом случае ниже центра тяжести и, следовательно, сам по себе создаст опрокидывающий момент.

Для длинной палки не создает, наоборот создает возвращающий. При наклоне центр плавучести смещается, а центр тяжести - нет.
Пока центры находятся на одной вертикальной прямой, никакого момента нет. Палка длинная. Если правый конец палки погрузился, то центр плавучести убежал вправо, центр тяжести остался на месте, возник момент сил, возвращающий палку в горизонтальное положение. Палка очень короткая (диаметр много больше длины). При таком же наклоне центр плавучести ушел влево, появился опрокидывающий момент, диск опрокинулся. В промежуточном случае наверно можно придумать наклонное положение. Для этого диаметр должен быть порядка длины.

[Skeptic]

ewert , у вас правильно. Я ошибся, извините.

[ewert]

amon в сообщении #1024909 писал(а):

Если правый конец палки погрузился, то центр плавучести убежал вправо,

Откуда это следует?...

Правый конец ведь не только погрузился, но и его нижний конец сдвинулся влево. Левый конец, правда, приподнялся, но и сдвинулся тоже влево. Так что тут противодействуют друг другу разные факторы, и кто кого перевесит -- надо хоть грубо, но прикидывать, заранее просто на глазок ничего не видно.

[Xey]

Тонкий кружок и спица очень устойчивы с подвешенным к низу грузилом , а что-то среднее (шар) не очень?

[Skeptic]

Независимо от длины нити при наклоне палки, сила натяжения нити будет приложена к концу палки, а не концу нити.
Если нить абсолютно жёсткая, то имеем стержень, что на языке рыболовов называется киль. Он является составной частью поплавка.

[amon]

ewert в сообщении #1024929 писал(а):

Откуда это следует?

Вижу, готовы сдаться ;)
Поверхность воды отсекает некоторый объем цилиндра. Слегка наклоним цилиндр так, что правый конец погрузится, а левый - всплывет. Отсекаемый объем должен остаться такой же. Для очень длинного цилиндра очевидно, что подводный объем правой части будет больше левой. Для короткого цилиндра это может оказаться не так.

-- 08.06.2015, 18:21 --

Skeptic в сообщении #1024943 писал(а):

сила натяжения

А мы про нее забудем, и будем интересоваться только положением метацентра и центра тяжести всей системы (по условию нить имеет нейтральную плавучесть, как хорошая леска).

-- 08.06.2015, 18:23 --

Xey в сообщении #1024934 писал(а):

а что-то среднее (шар) не очень?

Скорее - куб (параллелепипед)