Вывод формулы магнитной индукции

[Atom001]

Здравствуйте!
Хочу получить формулу для расчёта модуля магнитной индукции от прямого бесконечного проводника в точке $A$ на расстоянии $d$ от него.



1) Принцип суперпозиции $B_A=\sum\limits_{i}^{}B_i=(*)$
2) Закон Био-Савара-Лапласа $(*)=\sum\limits_{i}^{}(\frac{\mu_0}{4\pi}I\frac{|\Delta\vec{l_i}\times\vec{r_i}|}{{r_i}^3})=\frac{\mu_0}{4\pi}I\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i r_i \sin \alpha_i}{{r_i}^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}I\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i \sin \alpha_i}{{r_i}^2}=(*)$
3) Так как $\sin \alpha_i=\frac{d}{r_i}$, то $(*)=\frac{\mu_0}{4\pi}I\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i d}{{r_i}^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i }{{r_i}^3}=(*)$
5) По теореме Пифагора ${r_i}^2=d^2+{l_i}^2$, тогда ${r_i}^3=(\sqrt{d^2+{l_i}^2})^3$. Значит, $(*)=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i }{(\sqrt{d^2+{l_i}^2})^3}=(*)$
4) Сумму меняю на интеграл $(*)=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\int \frac{d l}{(\sqrt{d^2+{l}^2})^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\frac{l}{d^2\sqrt{d^2+l^2}}=\frac{\mu_0}{4\pi}I\frac{l}{d\sqrt{d^2+l^2}}$
5) Но так как проводник бесконечный, то $l\to \infty$. Тогда $B_{A\infty}=\lim\limits_{l\to \infty}^{}\frac{\mu_0}{4\pi}I\frac{l}{d\sqrt{d^2+l^2}}=(*)$
6) Разделю числитель и знаменатель дроби на $l$. $(*)=\lim\limits_{l\to \infty}^{}\frac{\mu_0}{4\pi}I\frac{1}{d\sqrt{\frac{d^2}{l^2}+1}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi d}$

В учебнике даётся без вывода такой результат: $B_{A\infty}=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}$. Поэтому скажите, пожалуйста, где я потерял двойку?

[Sender]

Сомнения вызывает 4-й пункт. Откуда это у вас $l_i$ под знаком интеграла, коль скоро вы перешли от суммирования к интегрированию? И этот интеграл у вас определённый или неопределённый?

[Atom001]

Sender в сообщении #1024833 писал(а):

Откуда это у вас $l_i$ под знаком интеграла

Это я ошибся, сейчас исправлю.

Sender в сообщении #1024833 писал(а):

И этот интеграл у вас определённый или неопределённый?

Я вообще плохо пока знаю интегралы. Сначала я думал, что интеграл должен быть определённым, но не смог определить пределы интегрирования, поэтому поставил неопределённый (в надежде, что если не правильно, то меня поправят).

[Sender]

Atom001 в сообщении #1024837 писал(а):

не смог определить пределы интегрирования

Ну тут вроде всё более-менее очевидно. Что такое $l$ и в каких пределах оно меняется, коль скоро

Atom001 в сообщении #1024816 писал(а):

проводник бесконечный

?

[Atom001]

От $-\infty$ до $+\infty$?
Я такой интеграл взять не могу, поэтому сейчас пойду посмотрю, как брать такой интеграл.

-- 08.06.2015, 21:33 --

Вот, что я понял.
Так как подынтегральная функция непрерывна на всей числовой оси, то
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}+\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}$

1)$\int\limits_{-\infty}^{0}f(x)dx=\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(F(0)-F(b))$
$\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3} = \lim\limits_{b\to -\infty}^{}(0-\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}})=-\frac{1}{d^2}$
2)$\int\limits_{0}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{b\to +\infty}^{}(F(b)-F(0))$
$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\lim\limits_{b\to +\infty}^{}(\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}}-0)=\frac{1}{d^2}$
3)Тогда, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}+\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=0$

Где-то опять ошибаюсь. Да?

[Sender]

Atom001 в сообщении #1024837 писал(а):

Я вообще плохо пока знаю интегралы.

А как у вас с пределами? Внимательно просмотрите первый пункт.

[Atom001]

$\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(0-\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}})=-\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}})=-\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(\frac{1}{d^2\sqrt{\frac{d^2}{b^2}+1}})$.
Так как $(-\infty)^2=(+\infty)^2$, то $-\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(\frac{1}{d^2\sqrt{\frac{d^2}{b^2}+1}})=-\frac{1}{d^2}$.
Вот так как-то.
Похоже, что и с пределами пока тоже всё плохо.

[Sender]

Так, похоже, с арифметическими квадратными корнями тоже не всё гладко.

-- Пн июн 08, 2015 17:38:30 --

$-\infty$ - это слишком страшно. А если бы там стояло $b \to -10$, к примеру?

[Atom001]

А! $\sqrt{b^2}=|b|$. Получается, что я теряю знак. Так как $b$ отрицательное. Тогда надо делать замену $b=-\sqrt{b^2}$, минусы нейтрализуются и в итоге $\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3} = \lim\limits_{b\to -\infty}^{}(0-\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}})=\frac{1}{d^2} $
Но в таком случае,
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}+\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\frac{2}{d^2}$
Значит, $B_{A\infty}=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\frac{2}{d^2}=\frac{\mu_0}{2\pi}Id\frac{1}{d^2}=\frac{\mu_0}{2\pi}I\frac{1}{d}$.
Теперь всё сходится!
Sender, спасибо за помощь!

[Atom001]

Я не захотел останавливаться и поэтому решил вывести формулу магнитной индукции для конечного проводника.
Пусть есть проводник длиной $L$. Нужно найти модуль магнитной индукции в точке $A$, находящейся на расстоянии $R$ от проводника и на одинаковых расстояниях от концов проводника.
Тогда, как уже ранее было выяснено, $B_A=\frac{\mu_0}{4\pi}IR\int\limit_{\text{что-то}}^{\text{что-то}}\frac{dl}{(\sqrt{R^2+l^2})^3}$
Теперь надо определить пределы интегрирования. Я рискнул и предположил следующее: $l$ - это расстояние от элемента тока $\Delta l$ до проекции точки $A$ на провод. Это расстояние пробегает все значения от $\frac{L}{2}$ до $0$ (снизу вверх) и потом ещё от $0$ до $\frac{L}{2}$ (тоже снизу вверх).
Получается, $B_A=\frac{\mu_0}{4\pi}IR \cdot 2\int\limit_{0}^{L/2} \frac{dl}{(\sqrt{R^2+l^2})^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IL}{R\sqrt{R^2+\frac{1}{4}L^2}}$
Теперь надо проверить правильность полученного результата. Должно выполняться следующее: $\lim\limits_{L\to +\infty}^{}B_A=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{R}$. Всё хорошо выполняется, значит я получил правильный ответ.

Но потом я подумал вот о чём. $B_A$ зависит от $L$. Почему так происходит? Ведь вокруг проводника создаётся магнитное поле, линии индукции которого являются окружностями, перпендикулярными самому проводу. Тогда, если провести плоскость через точку $A$, перпендикулярно проводу, то получится, что только "часть провода действует на точку". Весь остальной провод создаёт поле, которое никак не может попасть в точку $A$. Почему же тогда индукция в точке зависит от длины провода?

[Munin]

Можно разрезать провод поперёк проводящей плоскостью, и убрать то, что находится в "невидимом" полупространстве. Но тогда вместо убранной части провода - токи потекут по этой проводящей плоскости, стекаясь к началу провода (или растекаясь от него). Они и создадут недостающее поле.

[Atom001]

Munin, впервые, я совсем не могу представить то, что Вы написали.

[Munin]

Обратите внимание, закон Био-Савара указывает, что каждый участок провода создаёт поле не только в плоскости, перпендикулярной к себе, но и вообще во всём пространстве, и впереди, и сзади. Только точно впереди и точно сзади, на продолжении своей линии, поле нулевое. А во всех других точках - нет.

-- 09.06.2015 18:53:42 --

Munin в сообщении #1025336 писал(а):

Munin, впервые, я совсем не могу представить то, что Вы написали. :facepalm:

Возможно, я ляпнул о другой задаче, которую вы в виду не имели.

[Atom001]

Да, но если есть один проводочек, он создаёт поле в какой-то точке $A$, и если к нему сверху подставить другой такой же, то он никак не будет влиять на поле в точке $A$. Так ведь?

[Munin]

Общая идеология такая.

Есть уравнение, которое позволяет найти по заданным токам - поле во всём пространстве. Это теорема о циркуляции магнитного поля:

$$\oint\limits_{L=\partial S}\mathbf{B}\,d\mathbf{l}=\mu_0 I_\text{сумм}=\mu_0\int\limits_{S}\mathbf{j}\,d\mathbf{S},$$

где первый интеграл берётся по замкнутому контуру, а второй - по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Этот же физический закон может быть математически записан в дифференциальной форме:

$$\operatorname{rot}\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}.$$

Запись в интегральной форме удобна для некоторых частных случаев, но часто её неясно как применять: какой выбрать контур? как из циркуляции сделать вывод о конкретном значении поля? А запись в дифференциальной форме - это дифференциальное уравнение, которое более-менее понятно как решать: знаем поле в одной точке, и можем перейти к полю в соседней точке (зная ещё и ток). Правда, дополнительно используется ещё уравнение $\operatorname{div}\mathbf{B}=0$ и равенство нулю поля на бесконечности - ну, это технические детали.

А вот дальше, математики нашли общее решение этого уравнения. Можно его не решать, а просто взять и проинтегрировать. Это решение через закон Био-Савара:

$$\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int\dfrac{I\,[d\mathbf{l}\,\mathbf{r}]}{r^3},$$

где интеграл берётся по линиям всех проводов. Математически эти три соотношения - по сути, одно и то же. Аналогично квадратному уравнению и его корням. А физически - это немножко разные слова, где что находится. Но они, при правильном применении, приводят к одинаковым ответам. И их можно применять попеременно, то одну картину, то другую, смотря как вам удобнее рассуждать.

-- 09.06.2015 19:13:23 --

Atom001 в сообщении #1025337 писал(а):

Да, но если есть один проводочек, он создаёт поле в какой-то точке $A$, и если к нему сверху подставить другой такой же, то он никак не будет влиять на поле в точке $A$. Так ведь?

Почему?

Ещё раз повторяю: любой провод создаёт поле во всём пространстве. Закон Био-Савара явно об этом гласит.