2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 20:54 
Аватара пользователя
Есть ряд, который нужно исследовать на сходимость
$$\sum\limits_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$$
Я вижу только такой выход, нужно найти такой ряд, члены которого больше и он сходится, либо такой ряд, члены которого меньше и он расходится, вот как тут оценить члены этого ряда снизу или сверху, не знаю, знаю точно, что при $n\to\infty$ логарифм растет медленнее любой степени, пусть, например, $\ln n < n^k$, тогда $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n^{k\ln n}}$$
тогда если положить $k=\frac{1}{\ln n}$, то получится
$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$ и тогда исходный ряд расходится. Мои рассуждения верны?

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 20:58 
fronnya в сообщении #1024576 писал(а):
логарифм растет медленнее любой ...

фиксированной степени. А она у Вас от $n$ зависит.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:10 
Аватара пользователя
А признаки какие-нибудь знаете? Например интегральный.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:10 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #1024577 писал(а):
fronnya в сообщении #1024576 писал(а):
логарифм растет медленнее любой ...

фиксированной степени. А она у Вас от $n$ зависит.

Но ведь $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$ выполняется $\forall n\geq 2$

-- 07.06.2015, 20:12 --

demolishka в сообщении #1024584 писал(а):
А признаки какие-нибудь знаете? Например интегральный.

Т.е. если сходится (расходится) $\int\limits_2^{+\infty} \frac{1}{(\ln x)^\ln x} dx$, то и ряд тоже сходится(расходится)?

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:15 
Аватара пользователя
fronnya в сообщении #1024585 писал(а):
Но ведь $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$ выполняется $\forall n\geq 2$

Особенно оно выполняется для $n=e^k$.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:18 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #1024588 писал(а):
fronnya в сообщении #1024585 писал(а):
Но ведь $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$ выполняется $\forall n\geq 2$

Особенно оно выполняется для $n=e^k$.

$n$ принадлежит множеству натуральных чисел

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:19 
fronnya
Какая разница, это ничего не меняет (рядом всегда можно найти и натуральное). Но уж если хотите, то например $\[{(\frac{1}{{\ln 100}})^{\ln 100}} \approx 0,00088 < 0,01\]$

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:21 
fronnya в сообщении #1024591 писал(а):
$n$ принадлежит множеству натуральных чисел

Это непринципиально. А вот совет воспользоваться интегральным признаком был правильным.

Неравенство Ваше было верным, естественно, с точностью до наоборот.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:28 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1024593 писал(а):
fronnya в сообщении #1024591 писал(а):
$n$ принадлежит множеству натуральных чисел

Это непринципиально. А вот совет воспользоваться интегральным признаком был правильным.

Неравенство Ваше было верным, естественно, с точностью до наоборот.


Т.е. рассмотреть интеграл
$$\int\limits_2^{+\infty} \frac{ dx}{(\ln x)^\ln x}$$ ?
А вы мое неравенство проверьте для $n=2$, например

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:33 
fronnya в сообщении #1024596 писал(а):
А вы мое неравенство проверьте для $n=2$, например

Предложение бессмысленно -- мало ли что будет при двух; важно, что будет на бесконечности.

В подобных случаях первое, что должно приходить в голову -- это прологарифмировать знаменатель, а потом вернуться назад, предварительно переставив логарифмы; тогда всё станет ясно.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 22:00 
Аватара пользователя
А если так сделать: $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}=\frac{1}{(e^{\ln{\ln n}})^{\ln{n}}}}=\frac{1}{(e^{\ln{n}})^{\ln{\ln n}}}}=\frac{1}{n^{\ln\ln{n}}}$$ должно теперь стать проще? Мне что-то пока не очевидно.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 22:01 
fronnya в сообщении #1024603 писал(а):
должно теперь стать проще? Мне что-то пока не очевидно.

Что значит неочевидно. Показатель теперь-то -- как себя ведёт?...

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение08.06.2015, 01:19 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1024604 писал(а):
fronnya в сообщении #1024603 писал(а):
должно теперь стать проще? Мне что-то пока не очевидно.

Что значит неочевидно. Показатель теперь-то -- как себя ведёт?...

Возрастает

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение08.06.2015, 01:23 
Это хорошо, но мало. $1-1/n$ тоже возрастает.

 
 
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение08.06.2015, 10:16 
Аватара пользователя
А почему никто не предлагает просто применить логарифмический признак? :shock:

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group