2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 10:19 
Аватара пользователя


21/12/10
182
Задача такая:
Рассмотрим модель роста населения. Допустим P(t) представляет кол-вао населения в текущее время t.
Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.
Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население:

а) Если вначале население 1 млн. и население после года 1.1. миллион. Какое население через 3 года, если макс. население 3 миллиона.
б) Повторите а) при условии что рост населения пропорционален $M$ минус квадрат текущего населения.

Вначале я пытался решить a) так
Если за год у нас прирост в 100 000, значит % рост в год 10%, т.е. 0.1
тогда
$p'=0.1(3000000-p), p(0)=1000000$

что приводит
$3000000-2000000 e^{-0.1 x}$

но когда я меняю формулу чтобы решить б)
$p'=0.1(3000000-p^2), p(0)=1000000$
получается какая-то ерунда с комплексным анализом.

мне очень кажется что я двигаюсь совсем в неправильном направлении, также мне кажется что "население после года 1.1. миллион" - это также второе начальное условие, но непонятно как это все сформулировать. Вообщем помогите, пожалуйста, стать на путь правильный: что я делаю не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Напишите одно условие одной задачи, начиная первым словом, заканчивая точкой. А то сейчас их здесь две или три.
Впрочем, ерунда с комплексным анализом будет там в любом случае. Это с программированием, если Вы не любите какую-нибудь область, можно проложить путь в обход. В диффурах не так: если какая-то функция удовлетворяет диффуру, то она и является его решением, даже если она относится к области, которая Вам не нравится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 13:41 
Аватара пользователя


21/12/10
182
ИСН в сообщении #1024319 писал(а):
Напишите одно условие одной задачи, начиная первым словом, заканчивая точкой. А то сейчас их здесь две или три.
Впрочем, ерунда с комплексным анализом будет там в любом случае. Это с программированием, если Вы не любите какую-нибудь область, можно проложить путь в обход. В диффурах не так: если какая-то функция удовлетворяет диффуру, то она и является его решением, даже если она относится к области, которая Вам не нравится.


Приведу оригинал, сперва нужно решить выделенное красным квадратом.

Изображение

т.е. вот эту задачу:
Рассмотрим модель роста населения. Допустим P(t) представляет кол-во населения в текущее время t.
Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.
Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население:

Решить: Если вначале население 1 млн. и население после года 1.1. миллион. Какое население через 3 года, если макс. население 3 миллиона.

Моя проблема в том что мне кажется что я не могу понять условие задачи и создать диф. уравнение. Пытался вникать в суть уже очень долго, поэтому прошу помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Не надо оригинал. От того, что мы поговорим с оригиналом, Вам не будет никакого толку. Скажите своё понимание задачи: дано то-то, найти то-то. Какое-то понимание у Вас есть же? Потому что если нет, то нет и задачи, и тогда ничего делать не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 13:56 
Аватара пользователя


21/12/10
182
ИСН в сообщении #1024357 писал(а):
Не надо оригинал. От того, что мы поговорим с оригиналом, Вам не будет никакого толку. Скажите своё понимание задачи: дано то-то, найти то-то. Какое-то понимание у Вас есть же? Потому что если нет, то нет и задачи, и тогда ничего делать не надо.


Мое понимание очень хрупкое, из-за того что я не могу точно понять условие - в этом и проблема, хотя пытался очень долго. Обычно в моделях роста населения должен быть % роста населения, а его в этом условии нету. Как его найти? Мне показалось что если у нас есть прирост за год в 100 тыс с миллиона, значит % роста составляет 10%, т.е. 0.1

Итогда я пытался составить диф. уравнение так:

$p'=0.1(3000000-p), p(0)=1000000$

т.е. % умножаем на (макс. возможное население минус текущее население) и добавляем начальное условие p(0) равно 1 млн.

что приводит к
$3000000-2000000 e^{-0.1 x}$

но у меня много по этому сомнений, можно ли было так вычислять % роста и вообще нужно ли было его вычислять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 14:43 


06/06/15
18
Я бы посоветовал прочесть статью о популяционной динамике прежде чем приступать к решению подобной задачиhttp://www.library.biophys.msu.ru/mathmod/pd.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 15:08 


20/03/14
12041
jrMTH
Выбросьте пункт (б). Временно. И попытайтесь сформулировать задачу без него.
А оригинал не надо, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 16:18 
Аватара пользователя


21/12/10
182
Эту задачу a:

Цитата:
Рассмотрим модель роста населения. Допустим P(t) представляет кол-вао населения в текущее время t.
Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.
Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население:

а) Если вначале население 1 млн. и население после года 1.1. миллион. Какое население через 3 года, если макс. население 3 миллиона.



Понимаю технически в лоб так: у нас одна из моделей роста населения. Самая простая модель роста населения без ограничений: $p'=rp(x)$ - где r - % роста населения. т.о. мне нужно модифицировать эту модель под условие моей задачи. Мне говорят:
Цитата:
Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население.


т.е.
"Если коэффициент роста населения" - это $p'$
"пропорционален" - это $r$
"максимальное население" - $M$
"кол-во населения в текущее время" - $p(x)$
и тогда
$p'=r(M - p(x))$

правильно ли я понял и составил это уравнение?

далее, решая только задачу a) мне говорят

Цитата:
Если вначале население 1 млн. и население после года 1.1. миллион. Какое население через 3 года, если макс. население 3 миллиона.


т.о. начальное население и население после года - это начальные условия для диф. уравнения, т.е. $p(0) = 1000000, p(1)=1100000$.
также нам дано макс. население 3000000 - это константа $M$.

Комбинирую все вместе, заменяю константу $M$ и получаю:
$p'=r(3000000- p(x)), p(0) = 1000000, p(1)=1100000$

все, дальше мне решение не нужно, т.к. диф. уравнение могу решать сам, мне нужно понять правильно ли смоделировано уравнение и если нет, то какие ошибки.

почему-то моя вольфрам-альфа не решает эту задачу
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bp%27%3Dr%283000000-+p%28x%29%29%2C+p%280%29+%3D+1000000%2C+p%281%29%3D1100000%7D

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 17:00 


06/06/15
18
К сожалению только в общем виде:
$$c_1+x=\int_1^{p(x)} \frac{1}{r(3000000-\xi )} \, d\xi$$
где $c_1$ произвольная постоянная

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 17:02 
Аватара пользователя


21/12/10
182
Roman11 в сообщении #1024461 писал(а):
К сожалению только в общем виде:
$$c_1+x=\int_1^{p(x)} \frac{1}{r(3000000-\xi )} \, d\xi$$
где $\с_1$ произвольная постоянная


Как вы к этому пришли и почему у вас $1$ делится на $r(3000000-\xi )$.
Ведь написано что пропорционально, а не инверсионно пропорционально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 17:06 


20/03/14
12041
 !  Roman11
Большая просьба временно воздержаться от консультирования в учебных разделах.


-- 07.06.2015, 19:06 --

jrMTH
Вы не учитываете
jrMTH в сообщении #1024443 писал(а):
Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 17:25 
Аватара пользователя


21/12/10
182
Lia в сообщении #1024466 писал(а):
[mod]
jrMTH
Вы не учитываете
jrMTH в сообщении #1024443 писал(а):
Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.


меня, как раз, эта и следующая фраза:

Цитата:
Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население:


сбивают с толку в том плане как их вместе скомбинировать.

Чисто переводя русских на язык математики, если что-то чему-то пропорционально, то это означает что
$p'=kp(x)$.

Где $p(x)$ - это кол-во население в текущее время, а $k$ - это коэфициент пропорциональности. Но также мне говорят что "Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время". Коэффициент роста - это же $p'$? т.е. получается в условии говорят что $p'$ пропорционален вначале кол-ву населения в текущее время, а также макс население - минус кол-во населения в текущее время? Я здесь совсем запутан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 17:32 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
jrMTH в сообщении #1024443 писал(а):
Самая простая модель роста населения без ограничений: $p'=rp(x)$ - где r - % роста населения. т.о. мне нужно модифицировать эту модель под условие моей задачи. Мне говорят:
Цитата:
Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население.
Как понимаю, $r$ и есть коэффициент роста. Если принять во внимание цитату, получается $r=k(M-p)$. Два условия ($p(0)=1;p(1)=1.1$) позволят найти как конкретное частное решение, так и $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 17:37 


20/03/14
12041
jrMTH в сообщении #1024480 писал(а):
Коэффициент роста - это же $p'$? т.е. получается в условии говорят что $p'$ пропорционален вначале кол-ву населения в текущее время, а также макс население - минус кол-во населения в текущее время?

Это бывает. Площадь прямоугольника и длине пропорциональна, и ширине, или что там у него. ))

-- 07.06.2015, 19:39 --

iifat в сообщении #1024486 писал(а):
Как понимаю, $r$ и есть коэффициент роста. Если принять во внимание цитату, получается $r=k(M-p)$.

Да, и получится уравнение для описания численности популяции под названием логистического. Как раз для случаев ограниченности роста численности сверху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.
Сообщение07.06.2015, 17:48 
Аватара пользователя


21/12/10
182
спасибо всем. меня очень понимание задачи сбило с толку

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group