Нужно создать диф. уравнение - помогите выйти из тупика.

[jrMTH]

Задача такая:
Рассмотрим модель роста населения. Допустим P(t) представляет кол-вао населения в текущее время t.
Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.
Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население:

а) Если вначале население 1 млн. и население после года 1.1. миллион. Какое население через 3 года, если макс. население 3 миллиона.
б) Повторите а) при условии что рост населения пропорционален $M$ минус квадрат текущего населения.

Вначале я пытался решить a) так
Если за год у нас прирост в 100 000, значит % рост в год 10%, т.е. 0.1
тогда
$p'=0.1(3000000-p), p(0)=1000000$

что приводит
$3000000-2000000 e^{-0.1 x}$

но когда я меняю формулу чтобы решить б)
$p'=0.1(3000000-p^2), p(0)=1000000$
получается какая-то ерунда с комплексным анализом.

мне очень кажется что я двигаюсь совсем в неправильном направлении, также мне кажется что "население после года 1.1. миллион" - это также второе начальное условие, но непонятно как это все сформулировать. Вообщем помогите, пожалуйста, стать на путь правильный: что я делаю не так?

[ИСН]

Напишите одно условие одной задачи, начиная первым словом, заканчивая точкой. А то сейчас их здесь две или три.
Впрочем, ерунда с комплексным анализом будет там в любом случае. Это с программированием, если Вы не любите какую-нибудь область, можно проложить путь в обход. В диффурах не так: если какая-то функция удовлетворяет диффуру, то она и является его решением, даже если она относится к области, которая Вам не нравится.

[jrMTH]

ИСН в сообщении #1024319 писал(а):

Напишите одно условие одной задачи, начиная первым словом, заканчивая точкой. А то сейчас их здесь две или три.
Впрочем, ерунда с комплексным анализом будет там в любом случае. Это с программированием, если Вы не любите какую-нибудь область, можно проложить путь в обход. В диффурах не так: если какая-то функция удовлетворяет диффуру, то она и является его решением, даже если она относится к области, которая Вам не нравится.

Приведу оригинал, сперва нужно решить выделенное красным квадратом.



т.е. вот эту задачу:
Рассмотрим модель роста населения. Допустим P(t) представляет кол-во населения в текущее время t.
Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.
Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население:

Решить: Если вначале население 1 млн. и население после года 1.1. миллион. Какое население через 3 года, если макс. население 3 миллиона.

Моя проблема в том что мне кажется что я не могу понять условие задачи и создать диф. уравнение. Пытался вникать в суть уже очень долго, поэтому прошу помощи.

[ИСН]

Не надо оригинал. От того, что мы поговорим с оригиналом, Вам не будет никакого толку. Скажите своё понимание задачи: дано то-то, найти то-то. Какое-то понимание у Вас есть же? Потому что если нет, то нет и задачи, и тогда ничего делать не надо.

[jrMTH]

ИСН в сообщении #1024357 писал(а):

Не надо оригинал. От того, что мы поговорим с оригиналом, Вам не будет никакого толку. Скажите своё понимание задачи: дано то-то, найти то-то. Какое-то понимание у Вас есть же? Потому что если нет, то нет и задачи, и тогда ничего делать не надо.

Мое понимание очень хрупкое, из-за того что я не могу точно понять условие - в этом и проблема, хотя пытался очень долго. Обычно в моделях роста населения должен быть % роста населения, а его в этом условии нету. Как его найти? Мне показалось что если у нас есть прирост за год в 100 тыс с миллиона, значит % роста составляет 10%, т.е. 0.1

Итогда я пытался составить диф. уравнение так:

$p'=0.1(3000000-p), p(0)=1000000$

т.е. % умножаем на (макс. возможное население минус текущее население) и добавляем начальное условие p(0) равно 1 млн.

что приводит к
$3000000-2000000 e^{-0.1 x}$

но у меня много по этому сомнений, можно ли было так вычислять % роста и вообще нужно ли было его вычислять.

[Roman11]

Я бы посоветовал прочесть статью о популяционной динамике прежде чем приступать к решению подобной задачиhttp://www.library.biophys.msu.ru/mathmod/pd.html

[Lia]

jrMTH
Выбросьте пункт (б). Временно. И попытайтесь сформулировать задачу без него.
А оригинал не надо, да.

[jrMTH]

Эту задачу a:

Цитата:

Рассмотрим модель роста населения. Допустим P(t) представляет кол-вао населения в текущее время t.
Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.
Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население:

а) Если вначале население 1 млн. и население после года 1.1. миллион. Какое население через 3 года, если макс. население 3 миллиона.

Понимаю технически в лоб так: у нас одна из моделей роста населения. Самая простая модель роста населения без ограничений: $p'=rp(x)$ - где r - % роста населения. т.о. мне нужно модифицировать эту модель под условие моей задачи. Мне говорят:

Цитата:

Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население.

т.е.
"Если коэффициент роста населения" - это $p'$
"пропорционален" - это $r$
"максимальное население" - $M$
"кол-во населения в текущее время" - $p(x)$
и тогда
$p'=r(M - p(x))$

правильно ли я понял и составил это уравнение?

далее, решая только задачу a) мне говорят

Цитата:

Если вначале население 1 млн. и население после года 1.1. миллион. Какое население через 3 года, если макс. население 3 миллиона.

т.о. начальное население и население после года - это начальные условия для диф. уравнения, т.е. $p(0) = 1000000, p(1)=1100000$.
также нам дано макс. население 3000000 - это константа $M$.

Комбинирую все вместе, заменяю константу $M$ и получаю:
$p'=r(3000000- p(x)), p(0) = 1000000, p(1)=1100000$

все, дальше мне решение не нужно, т.к. диф. уравнение могу решать сам, мне нужно понять правильно ли смоделировано уравнение и если нет, то какие ошибки.

почему-то моя вольфрам-альфа не решает эту задачу
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bp%27%3Dr%283000000-+p%28x%29%29%2C+p%280%29+%3D+1000000%2C+p%281%29%3D1100000%7D

[Roman11]

К сожалению только в общем виде:

$$c_1+x=\int_1^{p(x)} \frac{1}{r(3000000-\xi )} \, d\xi$$

где $c_1$ произвольная постоянная

[jrMTH]

Roman11 в сообщении #1024461 писал(а):

К сожалению только в общем виде:

$$c_1+x=\int_1^{p(x)} \frac{1}{r(3000000-\xi )} \, d\xi$$

где $\с_1$ произвольная постоянная

Как вы к этому пришли и почему у вас $1$ делится на $r(3000000-\xi )$.
Ведь написано что пропорционально, а не инверсионно пропорционально.

[Lia]

Roman11
Большая просьба временно воздержаться от консультирования в учебных разделах.

-- 07.06.2015, 19:06 --

jrMTH
Вы не учитываете

jrMTH в сообщении #1024443 писал(а):

Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.

[jrMTH]

Lia в сообщении #1024466 писал(а):

[mod]
jrMTH
Вы не учитываете

jrMTH в сообщении #1024443 писал(а):

Также было обнаружено что изменение населения во времени пропорционально кол-ву населению настоящее время.

меня, как раз, эта и следующая фраза:

Цитата:

Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население:

сбивают с толку в том плане как их вместе скомбинировать.

Чисто переводя русских на язык математики, если что-то чему-то пропорционально, то это означает что
$p'=kp(x)$.

Где $p(x)$ - это кол-во население в текущее время, а $k$ - это коэфициент пропорциональности. Но также мне говорят что "Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время". Коэффициент роста - это же $p'$? т.е. получается в условии говорят что $p'$ пропорционален вначале кол-ву населения в текущее время, а также макс население - минус кол-во населения в текущее время? Я здесь совсем запутан.

[iifat]

jrMTH в сообщении #1024443 писал(а):

Самая простая модель роста населения без ограничений: $p'=rp(x)$ - где r - % роста населения. т.о. мне нужно модифицировать эту модель под условие моей задачи. Мне говорят:

Цитата:

Если коэффициент роста населения пропорционален $M$ минус кол-во населения в текущее время, где $M$ константа представляющее максимальное население.

Как понимаю, $r$ и есть коэффициент роста. Если принять во внимание цитату, получается $r=k(M-p)$. Два условия ($p(0)=1;p(1)=1.1$) позволят найти как конкретное частное решение, так и $k$.

[Lia]

jrMTH в сообщении #1024480 писал(а):

Коэффициент роста - это же $p'$? т.е. получается в условии говорят что $p'$ пропорционален вначале кол-ву населения в текущее время, а также макс население - минус кол-во населения в текущее время?

Это бывает. Площадь прямоугольника и длине пропорциональна, и ширине, или что там у него. ))

-- 07.06.2015, 19:39 --

iifat в сообщении #1024486 писал(а):

Как понимаю, $r$ и есть коэффициент роста. Если принять во внимание цитату, получается $r=k(M-p)$.

Да, и получится уравнение для описания численности популяции под названием логистического. Как раз для случаев ограниченности роста численности сверху.

[jrMTH]

спасибо всем. меня очень понимание задачи сбило с толку