NT. Обсуждение некоторых результатов по $ABC$-гипотезе

[grizzly]

(Мотивация)

Мотивация посмотреть литературу по $ABC$-гипотезе была следующая. Я задумался ненадолго, каким могло бы быть обобщение этой гипотезы для случая нескольких слагаемых. Не догадавшись даже, в какую сторону думать, попытался найти ответ в сети. И я не только нашёл ответ, но и обнаружил, что многие статьи по теме написаны практически в развлекательной научно-популярной манере, к тому же содержат интересные гипотезы и их эмпирические обоснования. Речь об этом пойдёт в нескольких сообщениях этой темы.

1. Случай нескольких слагаемых.
Соответствующая гипотеза была выдвинута в этой работе. Формулируется гипотеза довольно просто, если догадаться перейти к другим обозначениям.

Перепишем стандартную гипотезу в следующей эквивалентной формулировке (для уравнения из $n=3$ целочисленных слагаемых: $a+b+c=0$, где $\mathrm{gcd}(a,b,c)=1$):
Пусть $L_3 (a,b,c) =\dfrac{\ln \max(|a|,|b|,|c|)}{\ln \mathrm{rad}(abc)}$, $\{L_3\}$ -- множество всех возможных $L_3(a,b,c)$, а $\mathrm{rad}(abc)$ -- радикал числа $abc$. В этих обозначениях стандартная $abc$-гипотеза имеет вид:

$$ \lim\sup\, \{L_3\}=1. $$

Здесь $\lim\sup \, \{L_3\}$ -- наибольшая предельная точка мнжества $\{L_3\}$.

Тогда гипотеза для $n\ge 3$ слагаемых при аналогичных условиях и обозначениях примет вид:

$$ \lim\sup\, \{L_n\}=2n-5. $$

UPD. При построении аналогии важно, чтобы в рассматриваемом уравнении из нескольких слагаемых $a+b+...+m=0$ не было равных нулю подсумм с меньшим числом слагаемых.
В упомянутой работе доказана оценка снизу.

(Оффтоп)

Вот это $2n-5$ меня просто убивает. И почему не $11n-2^5?$

[grizzly]

Приведём несколько фактов, имеющих простые формулировки и так или иначе относящихся к гипотезе.

2. Гипотеза Дресслера (Dressler's Conjecture).
Пусть для натуральных $a<b$ выполнено $\mathrm{rad}(a)=\mathrm{rad}(b)$. Тогда существует простое $p$ такое, что $a<p<b$.
Гипотеза Дресслера может быть выведена из $abc$-гипотезы и была проверена для всех $a,b$ меньших $7\cdot 10^{13}$ (1999 г.).

3. Предельные точки множества $\{L_3\}$ (см. обозначения п.1) заполняют по меньшей мере отрезок $[1/3; 36/37]$.

4. Следствием $abc$-гипотезы является большое количество утверждений, касающихся диофантовых уравнений. Например: для любого $k\in \mathbb N$ уравнение $x^p-y^q=k$ имеет не более чем конечное число решений $(x,y,p,q)$ в натуральных числах ($x,y,p,q \ge 2$).

[grizzly]

5. Одна из проблем Эрдёша. Пусть $P(m)$ есть наибольший простой делитель числа $m\ge 2$. Гипотеза, что $\frac{P(2^n-1)}n \to \infty, n\to \infty ,$ выводится из $abc$-гипотезы, но на сегодня она уже доказана другими путями (C.L. Stewart, 2012).

6. Непаханое поле деятельности остаётся в гипотезах следующего типа. Существуют ли такие $x,y \in \mathbb N$, что одновременно $\mathrm{rad}(x)=\mathrm{rad}(y)$, $\mathrm{rad}(x+1)=\mathrm{rad}(y+1)$ и $\mathrm{rad}(x+2)=\mathrm{rad}(y+2)?$

7. Для целостности популярной картины добавлю полезную ссылку на сборник результатов. По теории там не всё и, похоже, не пополняется, а ссылки на вычислительные достижения достаточно свежие.

8. Про эти самые вычислительные достижения хочется сказать пару слов отдельно. Здесь всё ещё есть надежда найти какие-то ключевые закономерности эмпирическим путём. И эти надежды не беспочвенны -- достаточно посмотреть как "просто" в работе из п.1 (см. ссылку там) была обнаружена одна из таких закономерностей и скопом получены рекорды, которые на то время не нашли ещё методом перебора.

9. Интересный обзор по теме можно найти в книге "Mathematics in the 21st Century. 6th World Conference, Lahore, March 2013". (Я находил её в сети в режиме ознакомления.)

PS. Остановлюсь, пожалуй, волевым усилием. В теме никак не затрагивалась широко известная история доказательства $abc$-гипотезы -- по понятным причинам -- с этим проще ознакомиться в сети.

[Izya oo]

Можно у Вас попросить, если конечно Вы в курсе, немного рассказать, на какой стадии проверка работы японца и что за мат. аппарат такой у него, что навел столько шума среди профессионалов?

[grizzly]

Izya oo
Я не смогу профессионально ответить на Ваши вопросы. Всё же цель этой темы была осветить сколько-то интересные задачи из разных источников, которые (за небольшим исключением) не освещены в Википедиях или на MathWorld.

А что касается нашумевшего доказательства S. Mochizuki, информации в сети по нему вполне достаточно (у меня нет других источников). Я бы посоветовал Вам посмотреть его оригинальные отчёты о развитии своей теории: здесь свежий отчёт за 2014 год попытайтесь посмотреть там пару страниц, начиная с 10й. Вы заметите, что S. Mochizuki сложно упрекнуть в неспособности трезво оценить ситуацию вокруг своих теорий. Там несложный английский и не требуется понимание математических тонкостей (хотя и не помешает).
На русском могу посоветовать переводную статью на Хабре, ссылка на которую дана в рувики.

[Izya oo]

Спасибо Вам огромное!