5. Одна из проблем Эрдёша. Пусть
есть наибольший простой делитель числа
. Гипотеза, что
выводится из
-гипотезы, но на сегодня она уже доказана другими путями (C.L. Stewart, 2012).
6. Непаханое поле деятельности остаётся в гипотезах следующего типа. Существуют ли такие
, что одновременно
,
и
7. Для целостности популярной картины добавлю
полезную ссылку на сборник результатов. По теории там не всё и, похоже, не пополняется, а ссылки на вычислительные достижения достаточно свежие.
8. Про эти самые вычислительные достижения хочется сказать пару слов отдельно. Здесь всё ещё есть надежда найти какие-то ключевые закономерности эмпирическим путём. И эти надежды не беспочвенны -- достаточно посмотреть как "просто" в работе из п.1 (см. ссылку там) была обнаружена одна из таких закономерностей и скопом получены рекорды, которые на то время не нашли ещё методом перебора.
9. Интересный обзор по теме можно найти в книге "Mathematics in the 21st Century. 6th World Conference, Lahore, March 2013". (Я находил её в сети в режиме ознакомления.)
PS. Остановлюсь, пожалуй, волевым усилием. В теме никак не затрагивалась широко известная история доказательства
-гипотезы -- по понятным причинам -- с этим проще ознакомиться в сети.