Задача про сумму чисел на ребре куба

[tonya_p]

Задача: можно ли пронумеровать вершины куба цифрами от 1 до 8 так, чтобы все суммы чисел, соединенных ребрами, получились различными?
Идея решения: нужно как-то показать с помощью принципа Дирихле, что всего возможных сумм 11, тогда как ребер 12. Но вообще всего возможных сумм чисел от 1 до 8 13, а как показать. что с учетом того, что от каждой вершины исходит 3 ребра, их меньше - непонятно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

А чему равна сумма всех двенадцати сумм, т.е. по всему кубу?... Это сразу же скажет Вам, какая из тринадцати возможных в принципе сумм на самом деле запрещена.

(способ, наверное, несколько унылый; но, во всяком случае, сработает)

[tonya_p]

ewert в сообщении #1024033 писал(а):

А чему равна сумма всех двенадцати сумм, т.е. по всему кубу?... Это сразу же скажет Вам, какая из тринадцати возможных в принципе сумм на самом деле запрещена.

(способ, наверное, несколько унылый; но, во всяком случае, сработает)

Посчитаем сначала сумму всех сумм на ребрах : $3\cdot36 = 108$
Теперь посчитаем чему равна сумму всех возможных сумм, то есть чисел от 3 до 15: она равна 107. Таким образом не получится из каких-либо 12 различных чисел от 3 до 15 набрать в сумме 108, придется какме-то брать повторно.
Спасибо за помощь!

[ewert]

tonya_p в сообщении #1024055 писал(а):

сумму всех возможных сумм, то есть чисел от 3 до 15: она равна 107

Чуть-чуть не совсем, так что не так всё просто.

[tonya_p]

ewert в сообщении #1024057 писал(а):

tonya_p в сообщении #1024055 писал(а):

сумму всех возможных сумм, то есть чисел от 3 до 15: она равна 107

Чуть-чуть не совсем, так что не так всё просто.

Действительно, неверно, она равна 117. Тогда запрещена сумма 9.
Суммы, которые мы должны получить: 3..8, 9..15
3 получается одним способом: 1 + 2, 4 тоже одним способом: 1 + 3. То есть с вершиной 1 должны быть смежны вершины 2 и 3. 5 это либо 1 + 4, либо 3 + 2. ребро (3, 2) мы уже не можем поставить. Поэтому ставим на вершине смежной с 1 4. Таки образом получили что с вершиной 1 смежны 2, 3, 4. Теперь пытаемся получить 6: это либо 1 + 5, либо 2 + 4. Но таких ребер мы уже не можем провести. Значит все 12 сумм получить не получится

[ewert]

Верно.