задача

[Димитрий]

В санатории свободно всего 6 трехместных номеров,
7 двухместных номеров и 8 одноместных номера.
По путёвкам приезжают 40 гостей.
Сколькими способами администратор может их расселить?
Помогите, пожалуйста, решить.

Моё решение:
$C_{18}^3*C_{14}^2*C_8^1$

Правильно или нет?

[Brukvalub]

Димитрий писал(а):

Правильно или нет?

Неправильно. Чтобы разобраться, приводите не только полученную Вами формулу, но и использованные при ее выводе рассуждения.

[Димитрий]

В 6 трёхместных номерах 18 мест.
Один трёхместный номер можно заполнить из 18 человек
$C_{18}^3$ способами.
Значит, 6 трёхместных номеров можно заполнить
6*$C_{18}^3$ способами.

По аналогии получается формула:
$6*C_{18}^3*7*C_{14}^2*8*C_{8}^1$

Правильно?

[Профессор Снэйп]

Нет, не правильно.

Откуда $18$ человек берутся? Их ведь ещё надо из сорока выбрать.
Соответственно должно получиться

$$ k_1 \cdot C_{40}^{18} \cdot k_2 \cdot C_{22}^{14} \cdot k_3 $$

где $k_1$ --- количество способов, которыми $18$ человек можно расселить по шести трёхместным номерам, $k_2$ --- количество способов расселения $14$ человек в семь двухместных номеров и $k_3$ --- количество способов расселить $8$ человек по восьми одноместным номерам.

Числа $k_1$, $k_2$ и $k_3$ попробуйте сами найти

[Димитрий]

Значит, итоговая формула должна быть такой?

$6 \cdot C_{18}^3 \cdot C_{40}^{18} \cdot 7 \cdot C_{14}^2 \cdot C_{22}^{14} \cdot 8 \cdot C_8^1$

[Профессор Снэйп]

Димитрий писал(а):

Значит, итоговая формула должна быть такой?

$6 \cdot C_{18}^3 \cdot C_{40}^{18} \cdot 7 \cdot C_{14}^2 \cdot C_{22}^{14} \cdot 8 \cdot C_8^1$

Нет! Почему Вы упорно не хотите думать?!

Давайте я Вам помогу найти $k_3$.

Есть $8$ одноместных комнат и $8$ человек, которых надо в эти комнаты расселить. В первую комнату можно заселить любого из этих восьми, то есть найти жильца для этой комнаты можно восемью способами. После того, как жилец первой комнаты определился, осталось $7$ человек. Из них любого можно заселить во вторую комнату, то есть после того, как жилец для первой комнаты найден, во вторую комнату можно найти жильца семью способами. После того, как определились жильцы первой и второй комнаты, в третью комнату можно поселить любого из оставшихся шести человек, то есть найти для неё жильца шестью способами. И так далее... Найти жильцов для первых двух комнат можно $8 \cdot 7$ способами, для первых трёх комнат --- $8 \cdot 7 \cdot 6$ способами и т. д. Таким образом,

$$ k_3 = 8 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = 8! $$

[Архипов]

В исходной задаче не определены возможные способы. Что же мы тогда ищем? По опыту, администратор помещает прибывающих в таком порядке: в 3-х , потом в 2-х, потом в 1-о местные. Если есть возражения, то можно еще пятью способами разместить: 132 123 231 213 312. Всего 6 способов.
Процедура в задаче не определена. Можно посчитать количество решений администратора: или 21 - по количеству номеров комнат, или 40 - по количеству гостей.

[Профессор Снэйп]

Ага. Только всё это надо ещё поделить на количество олухов, которым по какому-то нелепому недоразумению разрешают гнать пургу на форумах.

[Димитрий]

Попробую найти k1.

$C_{18}^3$ - выбор трёх человек из 18 для одного из трёхместных номеров
$C_6^1$ - выбор трёхместного номера из шести

Тогда:
$k1=C_{18}^3 \cdot C_6^1$

Боюсь спрашивать, вдруг опять не правильно...

[Профессор Снэйп]

Димитрий писал(а):

Попробую найти k1.

$C_{18}^3$ - выбор трёх человек из 18 для одного из трёхместных номеров
$C_6^1$ - выбор трёхместного номера из шести

Тогда:
$k1=C_{18}^3 \cdot C_6^1$

Боюсь спрашивать, вдруг опять не правильно...

Конечно нет

Вот Вы выбрали трёх человек из $18$ и поселили в первую комнату. У Вас ещё осталось $5$ комнат и $15$ человек для расселения в них. Неужели Вы думаете, что $15$ человек можно расселить в пять трёхместных номеров всего $C^1_6 = 6$ способами?

Добавлено спустя 34 минуты 10 секунд:

То произведение, которое Вы посчитали... Сами подумайте, что Вы посчитали. Это не что иное, как количество способов, которыми можно заселить одну трёхместную комнату из шести (а пять других оставить свободными) в случае, если для заселения выбираются люди из некоторой фиксированной группы в $18$ человек. Какое это имеет отношение к заселению всех $18$-ти человек во все шесть комнат?

[Архипов]

Профессор Снэйп писал(а):

Ага. Только всё это надо ещё поделить на количество олухов, которым по какому-то нелепому недоразумению разрешают гнать пургу на форумах

Если это - в мой адрес, то примите ту же таблетку.
Даны три типа и их количества. Возможных комбинаций 6*7*8=336.
Процедура размещения не определена в задаче. Потому каждый волен свои предположения строить.

[bot]

Архипов писал(а):

Процедура размещения не определена в задаче.

Почему не определена? Имеется 40 занумерованных кроватей, разделённых перегородками, на них надо положить 40 тел. Тем, кого положат между перегородками пофиг, на кровати с каким номером лежать ...

[Someone]

Перестановки с повторениями.

[Профессор Снэйп]

Можно рассуждать так. Есть $40$ кроватей $b_1, \ldots, b_{40}$ и $40$ человек $m_1, \ldots, m_{40}$. Размещение людей по кроватям --- это произвольная биекция множества $\{ m_1, \ldots, m_{40} \}$ на множество $\{ b_1, \ldots, b_{40} \}$.

Два размещения $f, g$ назовём эквивалентными, если для любого $m \in \{ m_1, \ldots, m_{40} \}$ кровати $f(m)$ и $g(m)$ стоят в одной комнате.

Надо посчитать количество попарно не эквивалентных размещений.

Легко видеть, что $f \sim g$ тогда и только тогда, когда существует перестановка кроватей $\alpha$, такая что $f = \alpha \circ g$ и для любой кровати $b$ эта кровать и кровать $\alpha(b)$ стоят в одной комнате. Нужно посчитать максимальное количество попарно не эквивалентных размещений людей по кроватям.

Пусть $\tau$ --- это некоторая фиксированная биекция множества кроватей $B$ на множество отдыхающих в санатории людей $M$. Отображение $f \mapsto \tau \circ f$ есть биекция множества всех размещений людей по кроватям на группу перестановок $P_K$ множества $K$. Две перестановки $s, t \in P_M$ назовём эквивалентными, если соответствующие им размещения $s \circ \tau^{-1}$ и $t \circ \tau^{-1}$ эквивалентны. Перестановки, эквивалентные тождественной, образуют подгруппу $H$ в группе $P_K$. Искомое число размещений --- это число смежных классов группы $P_K$ для подгруппы $H$, то есть индекс $(P_K : H)$.

Ясно, что порядок группы $P_K$ есть число $40!$, а порядок $H$ равен $(3!)^6 \cdot (2!)^7$. Таким образом, правильный ответ к задаче --- это число

$$ \frac{40!}{2^7 \cdot 6^6} = \frac{40!}{2^{13} \cdot 3^6} $$

Вряд ли Димитрий понял рассуждения про группы (судя по уровню вопросов, которые он задаёт, с теорией групп он вряд ли знаком). Так что вот для него правильный ответ, к которому надо стремиться

[Henrylee]

Профессор Снэйп писал(а):

Таким образом, правильный ответ к задаче --- это число

$$ \frac{40!}{2^7 \cdot 3^6} $$

Факториалы в знаменателе не пропустили?

PS Они же (как уже отмечено Someone) перестановки с повторениями, они же мультиномиальные коэффициенты.