векторы и ковекторы

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1023277 писал(а):

А почему не $\mathcal{S}(\mathbb R^3)$?

потому, что там априорных оценок нет

[amon]

g______d в сообщении #1023500 писал(а):

Слышали что-нибудь про локализацию Андерсона?

А як же-ж, только это из серии (процитирую себя, любимого) "в физике очень мало "чистых" задач, и все какие появляются, тут же утекают в математику". Из этой же серии всякие анзацы Бете и еще много чего интересного. И в этом месте вся обсуждаемая машинерия еще как нужна. Поэтому физики, придумав такую "математически хорошую" задачу, дальше математикам не конкуренты (на сколько я знаю, метод обратной задачи рассеяния придумали программисты-физики что бы уравнение КДВ на машине решить). К стати, мой пример работы теоретика полувымышленный, но гамильтониан там настоящий и, по-моему, не тривиальный, правда точно решаемый.

g______d в сообщении #1023500 писал(а):

Ну это утверждение на уровне, что если у нас была задача, которая свелась к задаче классической механики с известным гамильтонианом, то она уже решена.

И если задача состоит в том, что бы долететь до Марса или объяснить пик экспериментального графика (а задач такого типа большинство), то это действительно так. Другое дело, что это, как правило, не интересные задачи, но все физические журналы завалены именно такими. В общем, подозреваю, что мы друг друга уже поняли, но на потеху публике и для собственного удовольствия с радостью еще с Вами подискутирую когда тему отделят.

[Munin]

g______d в сообщении #1023500 писал(а):

Ну это утверждение на уровне, что если у нас была задача, которая свелась к задаче классической механики с известным гамильтонианом, то она уже решена.

А это, кстати, тоже примерно так и есть. Только классическая механика - в основном мёртвая часть физики, физических задач там осталось с гулькин нос, и вы принимаете математическую возню за физическую - а это не так. Чтобы понять, что такое физическая механика, придётся вспомнить, чем занимались Ньютон, Гук, Гюйгенс, Паскаль, Рише, Кулон...

g______d в сообщении #1023500 писал(а):

Букет умолчаний очень простой -- сделайте мне самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве.

Не могу. Вы меня запугали вконец. Я не знаю, что такое самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, как его делать и как проверять.

g______d в сообщении #1023500 писал(а):

Если бы вы были знакомы с базовыми курсами по теории меры и функциональному анализу

На втором курсе?

g______d в сообщении #1023500 писал(а):

Качественное поведение зависит от того, какому из трех подпространств принадлежит $\psi_0$.

Спасибо за объяснения. Постараюсь запомнить.

g______d в сообщении #1023500 писал(а):

Первый вопрос, возникающий у большинства людей после того, как гамильтониан получен, — как устроены соответствующие подпространства.

Не у большинства людей, а у математиков. Ну перестаньте, неприятно же.

-- 05.06.2015 15:51:12 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1023509 писал(а):

потому, что там априорных оценок нет

Боюсь, я тут совсем не в курсе. Априорных оценок чего? На что?

— Вот, углюкль.
— Зачем он?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1023667 писал(а):

Боюсь, я тут совсем не в курсе. Априорных оценок чего? На что?

Если $\psi$ -- решение уравнения Шредингера $i\psi_t=(\Delta+V)\psi,\quad V: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ,принадлежащее $L^2(\mathbb{R})$ то верно следующее $\|\psi\|_{L^2}^2=const$. Отсюда следует, что решение , коль скоро оно существует, ограничено в $L^2$ , единственно и непрерывно зависит от начальных данных. Такие утверждения позволяют доказывать теоремы существования. Грубо говоря, в каком пространстве априорную оценку написать удается, в том удается доказать и теорему существования. Это общая философия. В линейных задачах, конечно, спектральные соображения на первый план выходят чаще.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Вы, может быть, сейчас со стула упадёте, но физикам и теорема существования, в общем-то, не всегда нужна.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1023689 писал(а):

Вы, может быть, сейчас со стула упадёте, но физикам и теорема существования, в общем-то, не всегда нужна.

Вы задали вопрос -- я ответил. И мне что-то слабо верится, что физикам наплевать корректные модели они рассматривают или нет.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1023703 писал(а):

И мне что-то слабо верится, что физикам наплевать коррект, ные модели они рассматривают или нет.

В общем, не наплевать, но это не является центральным идолом в их мироздании.

Скажем, решения не существует. Пусть! Посмотрим, до какого места оно существует, а потом "ломается". Будем начальную часть использовать, а там, где "ломается", зададимся вопросом, что ещё (физическое) учесть, и к какой другой математической модели перейти.

-- 05.06.2015 17:55:36 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1023703 писал(а):

Вы задали вопрос -- я ответил.

За это - спасибо, конечно же!

[пианист]

Oleg Zubelevich в сообщении #1023703 писал(а):

И мне что-то слабо верится, что физикам наплевать корректные модели они рассматривают или нет

Мы с Вами знаем минимум одного физика, которому нужна именно теорема существования ;).

[g______d]

Munin в сообщении #1023667 писал(а):

На втором курсе?

Квантовая механика на третьем же. У меня была на третьем.

Munin в сообщении #1023667 писал(а):

Не могу. Вы меня запугали вконец. Я не знаю, что такое самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, как его делать и как проверять.

Определение можно почитать в учебниках по функциональному анализу и спектральной теории. Хорошо, а что такое унитарный оператор, знаете? Это, конечно, не определение, но как факт: самосопряжённость гамильтониана $H$ равносильна унитарности оператора $e^{itH}$ при всех $t$. Мне кажется, что это условие достаточно физично, чтобы всерьёз заботиться о его проверке.

Кроме того, для самосопряжённых операторов есть спектральная теорема.

Наконец, самосопряжённость получается автоматически, если гамильтониан получен не просто формальным выражением, а из вариационного принципа.

Munin в сообщении #1023667 писал(а):

Не у большинства людей, а у математиков. Ну перестаньте, неприятно же.

Тут не так важно, математик человек или нет. Вот, допустим, у вас есть эрмитова (конечномерная) матрица $H$, и нужно найти $e^{iHt}$. Как вы будете это делать? Наверное, сначала попробуете найти собственные вектора и собственные значения. Теперь, если есть самосопряжённый оператор $H$, как найти $e^{iHt}$? Общая теория говорит, что надо построить спектральное разложение. Хорошо, а если всё разложение целиком построить сложно, а вопрос, в первую очередь, в качественном поведении решений $e^{iHt}\psi_0$? Тогда надо найти те характеристики, которые отвечают за качественное поведение решений. Ну и я уже попытался объяснить, что за них отвечает тип спектра оператора. Т. е. это не вопрос типа "я математик, что я могу доказать про этот оператор?", а "что математика может сказать про такие операторы?" и "если математика говорит, что возможны несколько качественно разных ситуаций, то какие именно из этих ситуаций имеют место?".

[Oleg Zubelevich]

пианист в сообщении #1023906 писал(а):

ы с Вами знаем минимум одного физика, которому нужна именно теорема существования ;).

не понял

[пианист]

(Oleg Zubelevich)

Oleg Zubelevich в сообщении #1023938 писал(а):

не понял

Вы не общались с И. Т-ы?
Модель Кона-Шэма etc.
Извините, если я Вас перепутал с другим человеком.