Вопросы по теории групп (смежные классы, фактор-группа)

[AHOHbIMHO]

PAV писал(а):

Если бы все элементы G порождали бы разные смежные классы, то порядок факторгруппы G/H был бы равен порядку G. Правильный ответ |G|/|H| получается как раз из-за того, что элементы G разбиваются на подмножества (по |H| элементов в каждом), причем элементы каждого из этих подмножеств порождают один и тот же смежный класс.

А, точно. Только это надо бы доказать. Аналогичное свойство доказывалось для гомоморфизма, т.е. то что если в один штрихованный элемент "схлопывается" несколько нештрихованных элементов, то во все другие штрихованные элемент "схлопываются" столько же нештрихованных элементов. А, ну да же! это же и есть гомоморфизм! Теперь правильно я мыслю?

[AHOHbIMHO]

PAV писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

Берем элемент a, и составляем смежный класс из элементов $a h_1, a h_2, ...a h_{|H|}$, где $ h_1, h_2, ...a h_{|H|}$ - элементы подгруппы H. Пока верно?

Пока верно, тем более что ничего не утверждается

Если взять любой элемент из построенного смежного класса, то он породит тот же смежный класс. И других элементов, порождающих тот же класс, нет.

А это уже не актуально

[PAV]

AHOHbIMHO писал(а):

А, ну да же! это же и есть гомоморфизм! Теперь правильно я мыслю?

Кажется, да. Примерно.

[AHOHbIMHO]

PAV писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

А, ну да же! это же и есть гомоморфизм! Теперь правильно я мыслю?

Кажется, да. Примерно.

Почему, примеро? Просто я не понял, к чему была эта эпопея с гомоморфизмов, теперь понимаю. Теперь если к о всему этому добавить, то что смежные классы покрывают всю группу и не пересекясь. Пусть K - кратность вырождения гомоморфизма (это я сам так назвал количество схлопывающихся элементов в один штрихованный). Тогда, |G/H| K = |G. Теперь нужно доказать, что K=|H|. Опять затык Может быть поспать?

[Dan_Te]

Вы все напутали =)
Вот у нас есть |G| элементов в группе. Теперь разрежем их на К смежных классов по нормальной подгруппе Н, получим
|G| = K*|H|. Теперь мы утверждаем, что все смежные классы образуют фактор-группу G/H. Тогда в фактор-группе будет, по определению, К элементов.

[sceptic]

AHOHbIMHO писал(а):

Я решил серьезно взяться за эту теорию (по книжке Хамермеша). После нескокльких десятков страниц мозги напрочь отказались работать.

Когда я изучал теорию групп, мне больше нравились книги Каргаполова и Мерзлякова "Основы теории групп" http://lib.mexmat.ru/books/1354 и "Теория групп" М. Холла. Ну и, еонечно, настольным гроссбухом был Курош.

Может быть, для полноты библиотеки, отсканируете и выложите Хамермеша в ЭБММ?

[tolstopuz]

sceptic писал(а):

Когда я изучал теорию групп, мне больше нравились книги Каргаполова и Мерзлякова

Для тех, кто не боится английского, есть очень понятная первая часть Dummit&Foote.

[AHOHbIMHO]

Dan_Te писал(а):

Вы все напутали =)
Вот у нас есть |G| элементов в группе. Теперь разрежем их на К смежных классов по нормальной подгруппе Н, получим
|G| = K*|H|. Теперь мы утверждаем, что все смежные классы образуют фактор-группу G/H. Тогда в фактор-группе будет, по определению, К элементов.

Нет, я не напутал. Вот в группе G есть нормальная подгруппа H с |H| элементами. Берем произвольный элемент $g_1$ умножаем на каждый элемент подгруппы H, получаем один смежный класс, потом берем другой элемент $g_2$ и умножаем на каждый элемент подгруппы H, получаем другой смежный класс. Всего получится |G| смежных классов (не обязательно различных), но по |H| смежных классов из них совпадают (это я уже выспавшись доказал, после того как поспал), например когда смежные классы получены умножением на элементы из подгруппы H. Таким образом, получаем |G|/|H| РАЗЛИЧНЫХ смежных классов, Т.е. порядок фактор-группы есть |G|/|H|, что и требовалось доказать.

[Dan_Te]

Тогда, значит, я напутал, что именно вы обозначили буквой К.
Главное, что истина установлена.