Роль линейных зависимостей.

[Part]

Предупрежедение.
Я не собираюсь "ниспровергать" физику, упрекать физиков в неумении ставить эксперименты и т.п.
У меня возник вопрос, и хочется услышать комментарии от знающих людей.

Читая Фейнмановский курс я не раз отмечал у него чувство восхищения тем фактом, что законы
природы образуют стройную и гармоничную картину мира. Разделяя его восторг, я тем не менее
удивлялся - почему так часто встречаются линейные зависимости.

Возьмем для начала простейшие законы, которые изучают в школе: закон Гука, закон Ома, зависимость
силы трения от приложенной нагрузки. Впрочем, в последнем случае речь скорее идет не о законе, а
об эмпирической закономерности и причина его простого вида заключается в том, что сначала
множество микроскопических вкладов усредняются, давая гладкую функцию, а затем мы берем только
маленький её кусочек, который в первом приближении выглядит как прямая.
Но ведь и в первых двух случаях линейность нарушится, стоит только посильнее растянуть пружину,
или повысить частоту тока.

Можно сказать, что те законы нефундаментальны, отсюда и их ограниченность. Но вот, например,
уравнения Максвелла. Фундаментальны - дальше некуда и снова линейны. Даже как-то обидно, неужели
природа не могла придумать чего похитрее. При этом справедливы они в широчайшем диапазоне, так
что аргумент типа "это только маленький кусочек подлинной зависимости" не проходит.

Тут стоит заметить, что аналитические методы хорошо работают именно для линейных уравнений. Стоит
в формуле появиться квадрату и математики начинают напрягаться. А если показатель степени "два с
хвостиком", то скорее всего надежда будет только на численные методы.

И дело не только в сложности расчетов. Попробую пояснить свою мысль наивным примером.
Если мы захотим совместить две прямые на плоскости, то достаточно простейшего (и опять же
линейного) преобразования: повернем и сдвинем. Для парабол придется уже деформировать плоскость
(пока еще линейно), а добиться совпадения, скажем, параболы и геперболы можно только ценой
насилия. Когда говорят "стройная картина мира", то имеют в виду такие аспекты, как простота,
сочетание отдельных частей, возникновение красивых эффектов. Пусть, например, множество
осцилляторов находится в переменном поле генератора. Они чувствуют колебания и, отвечая своим
полем, образуют очень интересную систему. Можно наблюдать области резонанса - замечательное
явление, подстройку частоты, направленное излучение и т.д. А была бы возможна вся эта красота при
сложных нелинейных уравнениях? Или возникло бы что-то вроде турбулентности, когда почти все, что
можно сказать, это "при увеличении давления расход, видимо, вырастет, хотя черт его знает" или
"до чего же все неустойчиво". Конечно, имея нужные данные и формулы можно попытаться что-то
посчитать со слабой надеждой на хотя бы приблизительное сходство с экспериментом, но ведь это
совсем не то же самое, как открыть простой и изящный закон тяготения который управляет всеми
планетами и заставляет их летать по таким аккуратным эллипсам.

А ведь в продвинутых теориях уравнения становятся все сложнее и нелинейнее. Границы применимости
раздвигаются - но ждет ли ученых и там красота? Или останутся одни расчеты и таблицы результатов?

Вот и возникает вопрос: не является ли "стройная картина мира", столь милая сердцу Фейнмана (да и
моему, если это обстоятельство достойно упоминания), лишь иллюзией, способной существовать только
в рамках модели, которая описывается по преимуществу линейными уравнениями?
Было бы очень жаль...

[svv]

Почему мы так чётко видим звёзды?

-- Чт июн 04, 2015 13:31:25 --

Part в сообщении #1023252 писал(а):

Возьмем для начала простейшие законы, которые изучают в школе: закон Гука, закон Ома, зависимость
силы трения от приложенной нагрузки.

Надо брать не «простейшие», а фундаментальные. Ясно, что закон Гука образуется в результате сложнейшего взаимодействия огромного количества частиц. То же касается и двух других примеров.

[rerf2010rerf]

Когда в руках молоток, всё вокруг кажется гвоздями. То же самое и тут.

[Oleg Zubelevich]

Part в сообщении #1023252 писал(а):

закон Гука

работает в предположении малых деформаций поэтому и зависимость линейная

Part в сообщении #1023252 писал(а):

зависимость
силы трения от приложенной нагрузки

здесь имеется огромное количество разных моделей и нелинейных в том числе

Part в сообщении #1023252 писал(а):

а
об эмпирической закономерности

а закон Гука, думаете, это не эмпирическая закономерность?

-- Чт июн 04, 2015 13:56:20 --

в классической механике линейность это редкое исключение. математический маятник уже нелинейная задача

[Munin]

Part в сообщении #1023252 писал(а):

Разделяя его восторг, я тем не менее удивлялся - почему так часто встречаются линейные зависимости.

Всё очень просто: это те зависимости, которые мы можем понять.

Part в сообщении #1023252 писал(а):

Но ведь и в первых двух случаях линейность нарушится, стоит только посильнее растянуть пружину, или повысить частоту тока. Можно сказать, что те законы нефундаментальны, отсюда и их ограниченность. Но вот, например, уравнения Максвелла. Фундаментальны - дальше некуда и снова линейны.

А вот, кстати, нет. Уравнения Максвелла перестают быть линейными в больших полях. Сначала возникают эффекты квантового поля (например, вакуум поляризуется, из-за чего происходит экранирование заряда), а потом - возникают эффекты электрослабых взаимодействий. Уравнения Максвелла - это линейное приближение модели Глэшоу-Вайнберга-Салама, описывающей электрослабое взаимодействие, и эта модель - нелинейная.

Part в сообщении #1023252 писал(а):

А ведь в продвинутых теориях уравнения становятся все сложнее и нелинейнее. Границы применимости раздвигаются - но ждет ли ученых и там красота? Или останутся одни расчеты и таблицы результатов?

Выше я упомянул теорию ГВС. Она сложнее и нелинейнее, чем теория Максвелла. Но тем не менее, она красива (и в каком-то смысле проста).

Хотя решить её уравнения, в отличие от уравнений Максвелла, нам пока не под силу.

[Part]

Спасибо за ответы, даже не ожидал.

svv в сообщении #1023260 писал(а):

Почему мы так чётко видим звёзды?

Если это сарказм, то ответ таков: "Потому, что природа наделила нас острым зрением".
Если же имеет место вопрос от ЗУ, то попробую ответить.
Электромагнитные волны способны преодолевать огромные расстояния в космическом пространстве без существенных искажений. Рискну предположить, что причина именно в линейности уравнений для данных условий. Будь они существенно нелинейны, возникали бы эффекты затухания, дисперсии и т.п., так что вместо звезд мы наблюдали бы некий "свет". Впрочем, тогда и наблюдать было бы некому.

Munin в сообщении #1023269 писал(а):

Part в сообщении #1023252 писал(а):

Разделяя его восторг, я тем не менее удивлялся - почему так часто встречаются линейные зависимости.

Всё очень просто: это те зависимости, которые мы можем понять.

Может, скорее "те, которыми мы умеем оперировать"?

Munin в сообщении #1023269 писал(а):

Выше я упомянул теорию ГВС. Она сложнее и нелинейнее, чем теория Максвелла. Но тем не менее, она красива (и в каком-то смысле проста).

Хотя решить её уравнения, в отличие от уравнений Максвелла, нам пока не под силу.

Я примерно об этом и спрашивал - "пока"?
Имеются строгие доказательства невозможности аналитического решения для некоторых задач.
Например, сколько бы не бились энтузиасты, выражения для траекторий трех тел в виде привычной формулы не будет никогда. Неужели со временем статья "Зависимость U от (x, t, v)" будет выглядеть так:
"Исходя из экспериментальных данных, получено приближение U полиномом восьмой степени с коэффициентами (следует таблица) укладывающееся в границы предполагаемой погрешности. Статистический анализ исходных данных показал, что величина (опять многочлен) изменяется не более чем на 0,001%, что позволяет предположить существование нового закона сохранения."

[Munin]

Part в сообщении #1023291 писал(а):

Может, скорее "те, которыми мы умеем оперировать"?

И понять, и оперировать, и хоть что-то хоть как-то вычислить.

Part в сообщении #1023291 писал(а):

Я примерно об этом и спрашивал - "пока"?

Чего точно никак нельзя предсказать, так это будущего развития науки.

Part в сообщении #1023291 писал(а):

Имеются строгие доказательства невозможности аналитического решения для некоторых задач.

Для уравнений Янга-Миллса таких доказательств пока нет.

Part в сообщении #1023291 писал(а):

Например, сколько бы не бились энтузиасты, выражения для траекторий трех тел в виде привычной формулы не будет никогда.

Надеюсь, о решении Зундмана вы в курсе.

[amon]

Вставлю пять копеек. Поскольку Вы Фейнмана читаете, с Вами можно всерьез говорить. Причиной появления линейных зависимостей, как правило, является то, что рассматриваемая система находится вблизи положения равновесия. Вот лежит себе палка железная. Если бы мы на нее внимание не обратили, лежала бы она там еще сто лет. Обратили, подняли. Сила, с которой мы на нее подействовали мала по сравнению с межатомными, поэтому отклонение от равновесия слабое. Если предположить, что можно придумать такую функцию, которая описывает состояние палки, и имеет экстремум в точке равновесия, то вблизи точки равновесия все уравнения будут линейны. Линейность уравнений показывает, что наш мир находится вблизи точки равновесия. Если в эту науку углубляться, то выяснится, что равновесия бывают разные, устойчивые и неустойчивые, и для выяснения вопроса о том, не провалится ли все в тар-тарары, нужно уже изучать нелинейности. Нелинейностей бездна, и решать все точно, как это делается для линейных систем - дело дохлое, но оказывается, что можно исследовать качественные закономерности в нелинейных системах, и как-то их расклассифицировать. Где-то в этом альтернатива предложенному Вами варианту.

[Munin]

amon в сообщении #1023326 писал(а):

Причиной появления линейных зависимостей, как правило, является то, что рассматриваемая система находится вблизи положения равновесия.

Я бы даже так сказал (точнее, так говорил А. Р. Зильберман, светлая ему память, и наверняка не он первый):

В малом - всё линейно. Если не линейно, то квадратично.

(Подразумевается, в малом масштабе, при малых отклонениях от начальной точки.)

Отсюда вся физика и пляшет. Если она забирается глубоко в область нелинейности (где даже разложение по Тейлору не помогает), то она уже перестаёт быть физикой, и становится чем-то вроде кибернетики, теории обратных связей, теории систем, со всякими перестройками, качественными изменениями и так далее. Этого полно в нефизических науках: биология, геология, социология/история - и толком разбираться в этом никто не умеет.

-- 04.06.2015 17:43:32 --

(Оффтоп)

(Кстати, вообще говоря, положение равновесия как раз обычно описывается квадратичным приближением, но случай с палкой, лежащей на земле, имеет другую природу (если не спускаться на уровень межатомных сил) :-) )

[Oleg Zubelevich]

Повысим немного градус. Вот динамическая система общего вида (нелинейная): $\dot x=v(x)\quad x\in D\subseteq\mathbb{R}^m$. А вот уравнение на плотность инвариантной меры: $\rho_t+\mathrm{div}\,(\rho v)=0,\quad \rho=\rho(t,x)$, оно линейное. При этом если мы знаем, общее решение одного из этих уравнений ,то знаем общее решение и другого.

[Munin]

При этом, решать второе обычно очень неудобно, поэтому вместо него решают первое.

Вы не "повышаете градус", а отвлекаете на ерунду. Обратите внимание, раздел физический.

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #1023388 писал(а):

$\rho_t+\mathrm{div}\,(\rho v)=0,\quad \rho=\rho(t,x)$

Почему же ерунду. Просто язык разный. То, что написано - уравнение на функцию распределения в бесстолкновительной плазме. Оно получится, если пренебречь взаимодействием между частицами. Если взаимодействие включить, то пишут уравнение Больцмана, которое нелинейно, и отличается тем, что в правой части стоит интеграл столкновений: $\frac{d\rho}{dt}=St\rho$. Эта вещь замечательна тем, что равновесная функция распределения зануляет интеграл столкновений, поэтому решают это уравнение линеаризацией вокруг равновесной функции распределения. Так что все в тему - пока мы вблизи хоть какого равновесия все линейно ;)

[Munin]

(Боюсь, Oleg Zubelevich имел в виду поток функции распределения в фазовом пространстве каком-нибудь абстрактном...)

[svv]

Part в сообщении #1023291 писал(а):

Если это сарказм, то ответ таков: "Потому, что природа наделила нас острым зрением".
Если же имеет место вопрос от ЗУ, то попробую ответить.
Электромагнитные волны способны преодолевать огромные расстояния в космическом пространстве без существенных искажений. Рискну предположить, что причина именно в линейности уравнений для данных условий. Будь они существенно нелинейны, возникали бы эффекты затухания, дисперсии и т.п., так что вместо звезд мы наблюдали бы некий "свет". Впрочем, тогда и наблюдать было бы некому.

Вы правы. (Нет, не сарказм.) Такой ответ мне и хотелось от Вас услышать. Я смотрю на далёкую галактику, а соединяющий нас отрезок пересекает столько излучений от других источников — и ничего. С какой точностью должно выполняться линейное волновое уравнение, чтобы электромагнитная волна от этой галактики не размывалась волнами от других источников, даже проходя гигантские расстояния. Линейность, конечно, здесь не единственный фактор.

(Part)

Посмотрите, пожалуйста, это и несколько следующих сообщений в той теме.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1023319 писал(а):

Для уравнений Янга-Миллса таких доказательств пока нет.

на каждое апчхи не наздороваешся... То, что проинтегрировать уравнение аналитически можно только в исключительных случаях хорошо известно. А главное, что свойство уравнения интегрироваться аналитически не имеет как правило ни какого физическо содержания
Просто ТС в этом сообщении

Part в сообщении #1023291 писал(а):

Например, сколько бы не бились энтузиасты, выражения для траекторий трех тел в виде привычной формулы не будет никогда.

действует по принципу "слышу звон да не знаю где он". Задача трех тел не имеет дополнительных первых интегралов (законов сохранения) кроме стандартных -- это совсем другой тип неинтегрируемости, неинтегрируемость тоже бывает разная. Отсутствие дополнительных законов сохранения это физически содержательный факт, он говорит о сложном поведении траекторий. А невозможность проинтегрировать задачу аналитически ни о чем не говорит. Например, уравнение Риккати $\dot x=x^2 +t^2$ тоже не интегрируется аналитически, но качественное поведение его решений вполне прозрачно.

-- Чт июн 04, 2015 21:03:27 --

У меня просьба к модераторам: проверьте ,пожалуйста, я думаю, что Part = unistudent