p-орбиталь

[Freude]

Существует ли аналитическое выражение для угла наклона касательной плоскости к волновой функции p-орбитали в точке, где расположено ядро? Например для атома водорода.

[Munin]

А что такое касательная плоскость к волновой функции?

(Если вы про плоскость узлов в "химических" орбиталях $p_x,p_y,p_z$ (в физике обычно используется другой базис), то она перпендикулярна осям $x,y,z$ соответственно.)

[Osmiy]

Орбитали (и их волновые функции) в атоме являются объемными. Т.е. они не являются поверхностями, к которым можно приложить касательную.

[Munin]

Орбитали являются некоторыми функциями, заданными в каждой точке пространства. То есть, некоторой "плотностью" в пространстве (можно говорить об электронной плотности, можно о волновой функции - они отличаются на квадрат).

Сегодня существует множество изображений орбиталей именно в виде плотности. Например:

(Оффтоп)

Раньше, в старых учебниках, часто печатали картинки другого типа, такие:

(Оффтоп)

или такие:

(Оффтоп)

- в виде "пузырей" или "воздушных шариков". Это, конечно, не изображения функции в пространстве. Это некоторые упрощения:
- "пузырь" изображает некоторую 3-мерную поверхность одинаковой плотности, аналогичную изолиниям в географии;
- "воздушный шарик" изображает ещё хуже: поверхность углового распределения плотности, отложенную от начала координат, как в графиках в полярной системе координат. И тоже, для некоторого выбранного уровня.

То есть, эти картинки - сильные упрощения, причём выбранные ровно только для того, чтобы удобней нарисовать картинку.

Реально, в $p$-орбитали есть плоскость, в которой плотность становится равной нулю - узловая плоскость волновой функции. (И то, в "физическом" базисе это часто не плоскость, а одна линия.) Как она расположена, я сказал - перпендикулярно "гантельке". Если отклониться от неё на какой угодно малый угол - получится уже ненулевая плотность вероятности встретить там электрон.

[Freude]

Osmiy в сообщении #1023397 писал(а):

Орбитали (и их волновые функции) в атоме являются объемными. Т.е. они не являются поверхностями, к которым можно приложить касательную.

Да, Вы правы . Не смог задать вопрос. Я искал вот это:
Волновая функция для $p_z$:

$$\psi_{2,1,0}(r,\theta,\phi)=\frac{\cos(\theta)}{4\sqrt{2\pi}a_0^{3/2}}\frac{r}{a_0} e^{-r/2a_0}$$

Разложем экспоненту в ряд Тейлора и ограничимся первым членом:

$$\psi_{2,1,0}(r \rightarrow 0,\theta,\phi)=\frac{\cos(\theta)}{4\sqrt{2\pi}a_0^{3/2}}\frac{r}{a_0}=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}a_0^{3/2}}\frac{z}{a_0}$$

Модуль градиента в узле и рядом - константа:

$$|\nabla \psi|=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}a_0^{5/2}}$$

[amon]

Если делать совсем нечего, то можно провести касательную плоскость к поверхности уровня квадрата модуля волновой функции, только зачем?

[Munin]

amon

(Оффтоп)

Я уж было подумал, что речь идёт о плоскости в пространстве $(\psi,x,y,z),$ проведённой в точке $x=y=z=0$...

[Osmiy]

Freude в сообщении #1023405 писал(а):

Osmiy в сообщении #1023397 писал(а):

Орбитали (и их волновые функции) в атоме являются объемными. Т.е. они не являются поверхностями, к которым можно приложить касательную.

Да, Вы правы . Не смог задать вопрос. Я искал вот это - производная в точке.

$$-\frac{\sin(\theta) }{4\sqrt{2\pi}a_0} $$

Что за формула, если не секрет?
Очень напоминает угловую часть волновой функции $2p$-орбитали атома водорода, но это не она. Параметр $a_0$ может присутствовать либо в полной записи, либо в радиальной части функции.
Для просмотра аналитических уравнений волновых функций можно обратиться к "Минкин, Симкин:Теория строения молекул" стр.39.
Уравнения все (даже Ваше) записаны в полярных координатах. Т.к. в них переменные разделены, многие производные должны браться в аналитическом виде.

-- 05.06.2015, 00:58 --

Точнее в сферических координатах.

[Munin]

Osmiy в сообщении #1023484 писал(а):

Для просмотра аналитических уравнений волновых функций можно обратиться к "Минкин, Симкин:Теория строения молекул" стр.39.

Лучше к любому учебнику квантовой механики. Волновые функции атома водорода - классическая задача. Даже в Википедии есть.

Osmiy в сообщении #1023484 писал(а):

Т.к. в них переменные разделены, многие производные должны браться в аналитическом виде.

LOL
В сферических координатах действительно всё шоколадно, но это чисто результат совпадения. В большинстве задач даже если переменные разделены, всё равно всё упирается в спецфункции. Например, см. цилиндрические координаты.

[Osmiy]

Munin в сообщении #1023493 писал(а):

Osmiy в сообщении #1023484 писал(а):

Для просмотра аналитических уравнений волновых функций можно обратиться к "Минкин, Симкин:Теория строения молекул" стр.39.

Лучше к любому учебнику квантовой механики. Волновые функции атома водорода - классическая задача. Даже в Википедии есть.

Это классический учебник по квантовой химии. Очень хороший, особено если интересует атом водорода.

Munin в сообщении #1023493 писал(а):

Osmiy в сообщении #1023484 писал(а):

Т.к. в них переменные разделены, многие производные должны браться в аналитическом виде.

LOL
В сферических координатах действительно всё шоколадно, но это чисто результат совпадения. В большинстве задач даже если переменные разделены, всё равно всё упирается в спецфункции. Например, см. цилиндрические координаты.

Не совсем понял, но прозвучало обидно.

[Munin]

Osmiy в сообщении #1023497 писал(а):

Это классический учебник по квантовой химии.

Ну и зачем он, когда речь об атоме водорода?

(Оффтоп)

Osmiy в сообщении #1023497 писал(а):

Не совсем понял, но прозвучало обидно.

У меня такое смутное подозрение, что одно с другим связано...

[Osmiy]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1023534 писал(а):

Osmiy в сообщении #1023497 писал(а):

Не совсем понял, но прозвучало обидно.

У меня такое смутное подозрение, что одно с другим связано...

Нет, не связано.
Я написал, что волновые функции атома водорода, записанные в сферических координатах, имеют разделенные переменные, и большинство их легко дифференцируемы.
Вы взяли часть моей цитаты. Вышло что, если взять любую функцию в сферических координатах, то у нее будут всегда разделяемые переменные. И стали смеяться надо мной.

[Freude]

Я подправил мой пост выше, там были ошибки. Может кому будет интересна эта величина (до сих пор не знаю как ее назвать).

[Munin]

(Оффтоп)

Osmiy в сообщении #1023536 писал(а):

Я написал, что волновые функции атома водорода, записанные в сферических координатах, имеют разделенные переменные, и большинство их легко дифференцируемы.

Написали вы кое-что другое. Вот иметь в виду - вы могли именно это. И тогда никаких вопросов.

Freude в сообщении #1023633 писал(а):

Я подправил мой пост выше, там были ошибки. Может кому будет интересна эта величина (до сих пор не знаю как ее назвать).

Лучше бы вы написали это новым постом. Потому что иначе создаётся путаница с последовательностью диалога.

Freude в сообщении #1023405 писал(а):

Не смог задать вопрос. Я искал вот это - производная в точке.
Волновая функция для $p_z$:

$$\psi_{2,1,0}(r,\theta,\phi)=\frac{cos(\theta)}{4\sqrt{2\pi}}\frac{r}{a_0} e^{-r/2a_0}$$

Разложем экспоненту в ряд Тейлора и ограничимся первым членом:

$$\psi_{2,1,0}(r \rightarrow 0,\theta,\phi)=\frac{cos(\theta)}{4\sqrt{2\pi}}\frac{r}{a_0}=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\frac{z}{a_0}$$

Модуль градиента в узле:

$$|\nabla \psi|=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\frac{1}{a_0}$$

Удивительно! Оказывается, моя дикая догадка post1023410.html#p1023410 была верна!

Итак, вы знаете в. ф. для $p_z$ (точнее, конечно же, для $2p_z$ - для других уровней она будет другой, отличаться в радиальной части). (И кстати, у вас ошибка в нормировке - не хватает $a_0^{3/2}$ в знаменателе.) Как найти производную в точке?

Путь 1. Переводите в. ф. в декартовы координаты. Это сделать просто, замена переменных.
$\begin{cases}r\to\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\r\cos(\theta)\to z.\end{cases}$
После этого просто берёте частную производную по $z.$

Путь 2. Вычисляете градиент в. ф. в сферических координатах, и берёте его в точке $r=0$ в проекции на вектор $\mathbf{k}.$ Это сложнее, причём в точку $r=0$ придётся подбираться по пределу. По Википедии:
$\operatorname{grad}f=\dfrac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{\hat{r}}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}}+\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial f}{\partial\varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}}$
$\begin{cases}\begin{aligned}\boldsymbol{\hat{r}}&=\dfrac{x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\boldsymbol{\hat{\theta}}&=\dfrac{xz\mathbf{i}+yz\mathbf{j}-\left(x^2+y^2\right)\mathbf{k}}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\boldsymbol{\hat{\phi}}&=\dfrac{-y\mathbf{i}+x\mathbf{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{aligned}\end{cases}$

-- 05.06.2015 15:24:57 --

А ещё одну проблему знаете? Если вы редактируете свои старые посты, то я не вижу, что в теме произошли обновления. И не захожу в неё, и не отвечаю.