2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 15:40 
Интересует критерий наличия кратных СЗ у симметрической матрицы 3х3.
Понятно, что можно составить характеристическое уравнение и записать
условие равенства нулю дискриминанта кубического уравнения.
Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 16:33 
Могу предложить вот такой наверняка не самый элегантный метод.
Случай когда кратность равна 3 можно исключить как наипростейший. Т.е. надо проверить есть ли СЗ с кратностью 2. Очевидно, матрицу можно привести к виду $$\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & a \end{matrix}$$ где $A$ блок $2 \times 2$. Если $A$ не диагональна, то кратных СЗ нет.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 16:37 
unistudent
$A$ всегда диагональна

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 16:39 
unistudent в сообщении #1023299 писал(а):
Очевидно, матрицу можно привести к виду $$\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & a \end{matrix}$$ где $A$ блок $2 \times 2$.

Грубо говоря, нельзя: это означает, что одно собственное число Вы уже нашли. Что вычислительно сложнее, чем вопрос о существовании или нет кратных собственных чисел.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 16:43 
Аватара пользователя
unistudent в сообщении #1023299 писал(а):
Если $A$ не диагональна, то кратных СЗ нет.
Одной из основных теорем л.а. является след. теорема: каждая симметрическая матрица подобна диагональной, поскольку симметрические матрицы отвечают самосопряженным операторам в Евклидовом пространстве, а канонический вид матриц таких операторов - диагональный.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 17:54 
unistudent в сообщении #1023299 писал(а):
Могу предложить вот такой наверняка не самый элегантный метод.
Случай когда кратность равна 3 можно исключить как наипростейший. Т.е. надо проверить есть ли СЗ с кратностью 2. Очевидно, матрицу можно привести к виду $$\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & a \end{matrix}$$ где $A$ блок $2 \times 2$. Если $A$ не диагональна, то кратных СЗ нет.
Вы имели в виду "кратна единичной"? В таком случае тоже нет гарантии, что нет кратных СЗ, т.к. одно из СЗ блока А может совпаcть с а.

2old в сообщении #1023301 писал(а):
unistudent
$A$ всегда диагональна
Строго говоря, не всегда. Она обязательно будет диагональной при некотором таком преборазовании, но не при любом.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 19:00 
Аватара пользователя
armez в сообщении #1023288 писал(а):
Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?

Исследование собственных значений и собственных векторов всегда является трудной задачей. Вы никакого особенно упрощающего случая пока не предложили.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 19:06 
ну для кубического многочлена написать критерий существования кратного корня это уж не оочень перетрудимшись можно сделать. Продифференцировали кубический многочлен , получили квадратный дальше сами догадайтесь :D

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 19:06 
Munin в сообщении #1023387 писал(а):
Исследование собственных значений и собственных векторов всегда является трудной задачей.

Не всегда: наличие кратных собственных чисел проверяется просто.

-- Чт июн 04, 2015 20:08:47 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1023390 писал(а):
ну для кубического многочлена написать критерий существования кратного корня это уж не оочень перетрудимшись можно сделать.

Почему только для кубического? Технические затруднения связаны вовсе не со степенью, а с выписыванием самого характеристического многочлена.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 19:51 
Oleg Zubelevich в сообщении #1023390 писал(а):
ну для кубического многочлена написать критерий существования кратного корня это уж не оочень перетрудимшись можно сделать. Продифференцировали кубический многочлен , получили квадратный дальше сами догадайтесь :D
Догадываюсь. Алгоритм Эвклида, результант, дискриминант. А теперь Вы догадайтесь: в чём был смысл вопроса? Подсказка: прочитайте первый пост.

-- 04.06.2015, 18:53 --

Munin в сообщении #1023387 писал(а):
armez в сообщении #1023288 писал(а):
Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?
... Вы никакого особенно упрощающего случая пока не предложили.
Предложил. Симметрическая матрица 3-го порядка с действительными элементами.

-- 04.06.2015, 19:29 --

Можно даже считать, с нулевым следом.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 02:34 
Brukvalub в сообщении #1023306 писал(а):
Одной из основных теорем л.а. является след. теорема: каждая симметрическая матрица подобна диагональной, поскольку симметрические матрицы отвечают самосопряженным операторам в Евклидовом пространстве, а канонический вид матриц таких операторов - диагональный.

Спасибо. Но я не понял, почему вы это написали в ответ на мое "если А не диагонально то кратных СЗ нет". Поясните, пожалуйста.
Сам я, когда писал, рассуждал так: пусть $B$-исходная матрица. Есть ортогональная матрица $C$ такая, что матрица $C^{-1}BC$ является матрицей вида $$\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & a\end{matrix}$$ где $A$ - блок $2\times2$. Тогда $a$ одно из СЗ. Если другие два значения кратные, то $A$ обязательно диагональная. Понятно, что этот подход никакой. Написал это скорее потому, что стало любопытно, есть ли критерий. Судя по постам ewert, критерий имеется.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 08:22 
Аватара пользователя
unistudent в сообщении #1023533 писал(а):
Спасибо. Но я не понял, почему вы это написали в ответ на мое "если А не диагонально то кратных СЗ нет". Поясните, пожалуйста.

Я написал это, чтобы разъяснить вам вашу ошибку.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 09:39 
Аватара пользователя
armez в сообщении #1023288 писал(а):
Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?


ewert в сообщении #1023391 писал(а):
Почему только для кубического? Технические затруднения связаны вовсе не со степенью, а с выписыванием самого характеристического многочлена.


Можно вспомнить такую штуку:
$$
\frac{d}{d\lambda}\det A(\lambda)=\sum\limits_{i,j=1}^n \left(\frac{d}{d\lambda} a_{ij}(\lambda)\right)\hat{A}_{ij} (\lambda),
$$
где $\hat{A}_{ij}(\lambda)$ -- алгебраическое дополнение. В данном случае получится сумма трёх определителей $2\times 2$, каждый умноженный на $-1$.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 09:50 
А толку-то? Сам характеристический многочлен всё равно понадобится; так проще именно его и продифференцировать.

 
 
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 10:06 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1023557 писал(а):
Сам характеристический многочлен всё равно понадобится


Можно найти корни производной, а потом найти ранг матрицы $A-\lambda I$ для каждого корня (методом Гаусса). Правда, не похоже, чтобы это было вычислительно проще.

-- Пт, 05 июн 2015 00:09:35 --

К тому же, действительно, зная характеристический полином и его производную, можно просто вычислить их НОД по алгоритму Евклида.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group