векторы и ковекторы

[olenellus]

Этот пример тоже не годится. Ваша функция, а вернее, функция Дирихле, равна 0 в $L^2(\mathbb{R})$, то есть является представителем того же класса, что и 0.

[Oleg Zubelevich]

olenellus в сообщении #1022788 писал(а):

Ваша функция, а вернее, функция Дирихле, равна 0 в $L^2(\mathbb{R})$,

спасибо кэп!, я даже не знаю, для чего именно не годится мой пример, я ветку не читал, просто решил поддержать беседу

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022794 писал(а):

я даже не знаю, для чего именно не годится мой пример, я ветку не читал, просто решил поддержать беседу :D

"Скажите, а вы не пробовали применить логарифмы?"

Спасибо, сэр!

[olenellus]

Munin в сообщении #1022737 писал(а):

В классическом смысле производная почти всюду есть. Это совпадает с тем, что сказано в сноске 3 на стр. 11.

Не хотите лестницу Кантора, то вот пример проще: $\theta(1-|x|)$
Очевидно, что $\theta(1-|x|) \in L^2(\mathbb{R})$, однако $\partial_x \theta(1-|x|) = \delta(x+1) - \delta(x-1)$ не лежит в $L^2(\mathbb{R})$. Такая функция и в физике может встретиться. Во всяком случае, всякие разрывные функции попадаются.

Что касается Вашего изначального вопроса, то $L^2$-функций, имеющих $L^2$-производную в обобщённом смысле целое полное пространство, пространство Соболева $W^{1,2} \equiv H^1$, если ввести соответствующую норму (и скалярное произведение).

(Оффтоп)

Denis Russkih в сообщении #988726 писал(а):

Жутковатый факт, если вдуматься.

[g______d]

Munin в сообщении #1022730 писал(а):

Ну вот, чему верить???

Учебникам :)

Конкретно по этому вопросу -- вы упоминали книжку Рихтмайера, там всё довольно неплохо написано и достаточно сжато. Обратите внимание на параграф "Идентификация функций с распределениями" на стр. 56, замечание на странице 162 и пример 3 на странице 167 (все страницы из русского издания).

[Munin]

g______d в сообщении #1022931 писал(а):

Учебникам :)

Дык видно же, что они говорят разное :-)

[g______d]

Munin в сообщении #1022943 писал(а):

Дык видно же, что они говорят разное

По ссылке не учебник, все-таки.

[Oleg Zubelevich]

casualvisitor в сообщении #1022183 писал(а):

О преимуществах и недостатках дираковской нотации можно почитать вот здесь: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

проглядел статью наискосок и не понял ,что она делает в архиве? какой-то справочник по элементам функана. На стр 23 сепарабельность в гильбертовом пространстве вводится через существование счетного ортогонального базиса. формально правильно, конечно, но смотрится диковато. на стр 9 преобразование Фурье $L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})$ записано через интеграл Фурье, а разве интеграл Фурье определен для каждой функции из $L^2(\mathbb{R})$?

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022975 писал(а):

а разве интеграл Фурье определен для каждой функции из $L^2(\mathbb{R})$?

Нет, не определён. Нужно определять этот интеграл на плотном множестве (например, классе Шварца), доказывать изометричность на этом множестве, а потом продолжать по непрерывности (не знаю, зачем я это пишу, явно не для Вас :)). Да, тоже ляп, но достаточно мелкий.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022975 писал(а):

проглядел статью наискосок и не понял ,что она делает в архиве?

В арХиве давным-давно полно учебных, методических и пр. материалов. Проснулись.

-- 03.06.2015 08:32:46 --

g______d в сообщении #1022944 писал(а):

По ссылке не учебник, все-таки.

По ссылке текст, позволяющий быстро понять, что к чему. За что я его автору благодарен. Почему-то ворчащие и изыскивающие ляпы наблюдатели такими текстами не балуют.

[Oleg Zubelevich]

Вопросы, обсуждаемые в статье очень хорошо разобраны в учебнике Иосиды "Функциональный анализ"

[g______d]

Почти вся КМ -- это спектральная теория самосопряжённых (и унитарных) операторов в гильбертовых пространствах. Причём даже не произвольных операторов, а оператора Шрёдингера ($-\Delta+V$) и связанных с ним. Если функциональный анализ нужен только с такой целью, то учебник Иосиды слишком общий для этого.

[Munin]

g______d в сообщении #1022982 писал(а):

Почти вся КМ -- это спектральная теория самосопряжённых (и унитарных) операторов в гильбертовых пространствах.

Да как вы все не понимаете, что КМ - это физическая теория, чтобы описывать физическую реальность?

[g______d]

Munin в сообщении #1022983 писал(а):

Да как вы все не понимаете, что КМ - это физическая теория, чтобы описывать физическую реальность?

Слова "квантовая механика" я понимаю в том же смысле, что "классическая механика" или "теоретическая механика".

[Munin]

g______d в сообщении #1022985 писал(а):

Слова "квантовая механика" я понимаю в том же смысле, что "классическая механика" или "теоретическая механика".

И это, как ни странно, тоже физические теории.

(Оффтоп)

Если сказать "лагранжева механика" или "гамильтонова механика" (или "ньютоновская" - тут не уверен), оговорить упоминаемые виды связей, диссипативные силы, удары и прочее тому подобное, то после $n$ таких оговорок получится, наверное, математическая теория. Но это довольно большая разница, не замечать которую нельзя (или можно только for the sake of учебное изложение для начинающих).