мощность декартова произведения бесконечных множеств

[enko]

Как доказать что мощность декартова произведения бесконечных множеств равна мощности множества?

Не могу найти док-во, может кратко объясните принцип док-ва или ссылку на статьи

пожалуйста, скачивать большие книги не отправляйте, интернет сейчас оч. медленный

спасибо.

[Echo-Off]

enko писал(а):

равна мощности множества

какого множества?

[enko]

Echo-Off писал(а):

enko писал(а):

равна мощности множества

какого множества?

пролохо выразился, ну я имел ввиду |AxA|=|A|

[Профессор Снэйп]

Кхе-кхе...

Не самая простая теорема в теории множеств.

Но, впрочем, далеко не самая сложная.

Действуйте от противного. Рассмотрите множество $A$, для которого $|A| \neq |A^2|$, наименьшей возможной мощности. Рассмотрите наименьшее вполне упорядочение этого множества. Потом на квадрате рассмотрите лексикографический порядок "сначала по максимуму двух координат, потом по первой координате". Возьмите собственный начальный сегмент этого множества, равномощный $A$, и легко получите противоречие.

Подробности в учебниках по мат. логике

[Gordmit]

Можно попробовать доказать это так. Ясно, что мощность $A\times A$ не меньше мощности $A$. Поэтому равенство мощностей будет доказано, если показать, что $|A\times A|<2^{|A|}$. А к этому случаю уже можно попробовать применить аналог метода Кантора, которым доказывается, что $|A|<2^{|A|}$.

[Профессор Снэйп]

Gordmit писал(а):

Можно попробовать доказать это так. Ясно, что мощность $A\times A$ не меньше мощности $A$. Поэтому равенство мощностей будет доказано, если показать, что $|A\times A|<2^{|A|}$. А к этому случаю уже можно попробовать применить аналог метода Кантора, которым доказывается, что $|A|<2^{|A|}$.

Диагональный метод не поможет

Утверждение о том, что $|A| = |A^2|$ для всех бесконечных $A$, эквивалентно аксиоме выбора. Теорема Кантора же справедлива безотносительно к тому, верна аксиома выбора или нет.

В схеме доказательства, которую я привёл выше, от аксиомы выбора зависит выбор наименьшего по мощности множества с некоторым свойством. Между тем утверждение о том, что любые два множества сравнимы по мощности, без аксиомы выбора не доказуемо.

P. S. Да, и возможность вполне упорядочения этого множества есть конечно же следствие аксиомы выбора.

[Gordmit]

Согласен. Так действительно не получится

[Echo-Off]

А интересно, если аксиому выбора считать неверной, можно ли привести пример множества $A$ с $|A|\neq|A\times A|$?

[Профессор Снэйп]

Echo-Off писал(а):

А интересно, если аксиому выбора считать неверной, можно ли привести пример множества $A$ с $|A|\neq|A\times A|$?

А что значит "привести пример"?

Если зафиксировать множество, на подмножествах которого нет "функции выбора" (то есть такое $A$, что не существует функции $h : \mathcal{P}(A) \setminus \{ \varnothing \} \to A$, для которой $h(X) \in X$), то из этого множества сконструировать бесконечное множество $B$ со свойством $|B| \neq |B^2|$, наверное, можно. А если "с нуля", то есть из пустого множества, то, наверное, нельзя.

Но это так, какие-то общие соображения интуитивного плана. А вообще надо подумать Я вот уже не помню, как из $|A| = |A^2|$ доказывается аксиома выбора. Залезть в Ершова-Палютина, посмотреть на досуге...