Теория множеств без парадоксов? : Дискуссионные темы (М) fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Теория множеств без парадоксов?
Сообщение25.05.2015, 15:15 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
Недавно прочел письма Кантора. Оказалось, что он в самом начале зарождения своей теории уже знал про парадоксы типа Рассела и, более того, учел их. Для этого он ввел в рассмотрение классы, чтобы различать их от множеств (и это в канторовское то время!)

Возникли следующие вопросы: в чем причина многолетней шумихи вокруг парадоксов теории множеств? Можно ли назвать Канторовскую теорию множеств теорией в строгом смысле этого слова?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение25.05.2015, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
У Кантора, насколько я помню, не было строгой теории именно по поводу различения классов и множеств. Я помню только то, что он отделял "абсолютно бесконечные" совокупности от бесконечных множеств на основании каких-то философских аргументов, без математических определений.
Но я, возможно, просто не читал того, что читали Вы. Можно ссылку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение02.06.2015, 19:04 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
А разве введение представления о классе (как произвольной совокупности, которая может и не быть множеством) снимала проблему парадоксов,
которые вообще-то обрушивали (как говорят, наивную) теорию множеств?

Ведь все преодоления парадоксов начинали с разных определений понятия класса (так как предмтпвление "множество, которое - не множество" само парадоксально). 8^)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 06:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Мастак в сообщении #1022851 писал(а):
так как предмтпвление "множество, которое - не множество" само парадоксально

А чем оно парадоксально? Для того и слово "класс" ввели. Более парадоксально в таком случае число, которое не действительное, а комплексное. А ещё раньше не рациональное, а действительное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 08:07 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
bot в сообщении #1022960 писал(а):
Мастак в сообщении #1022851 писал(а):
так как предмтпвление "множество, которое - не множество" само парадоксально

А чем оно парадоксально? Для того и слово "класс" ввели. Более парадоксально в таком случае число, которое не действительное, а комплексное. А ещё раньше не рациональное, а действительное.


"Сделать хотел утюг, Слон получился вдруг"

так и расхожие конструктивные способы определения вещественного числа
(теория фундаментальных последовательностей, теория бесконечных десятичных дробей, теория сечений) грешат теми же парадоксами: берут рацион. числа и из их конструируют "что-то", при этом под разными соусоми как разные блюда подсовывая аксиому непрерывности (полноты), заявляя, что все рациональные и все такие "что-то" есть все действительные (вещественные) числа, то есть опять: то, из чего строили, объявляют таким же с тем, что построено (но строится же иное, подобно тому, как "строится" "множество всех множеств")
...
и без аксиоматики вещественных чисел - парадоксы, а аксиоматика действует до обнаружения новых парадоксов, ИМХО

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Мастак в сообщении #1022973 писал(а):
при этом под разными соусоми как разные блюда подсовывая аксиому непрерывности (полноты)

Не подсовывая, а проверяя для конкретной модели. При аксиоматическом определении - да, подсовываем вводим такую аксиому. Чтобы убедиться в совместности взятой системы аксиом, строим модель, пополняя поле рациональных. Кроме того убеждаемся в единственности в некотором смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10986
Мастак в сообщении #1022973 писал(а):
аксиому непрерывности (полноты)
А что Вам не нравится? Вот мы решили определить понятие "штука" таким образом, что это -- одна из данных двух гантелей и одного утюга. Утверждение о полноте понятия будет говорить всего лишь о том, что не бывает "штук", отличных от указанных. Т.е. вот этот мяч -- уже не "штука". В своё время понятие "числа" определяли таким образом, что длина диагонали единичного квадрата считалась не "числом".

Связать понятие полноты с непрерывностью -- это другой подход. Вот не понравилось математикам, что не всякая фундаментальная последовательность чисел имеет пределом число. Они и решили определить "действительное число" таким образом, чтобы все пределы фундаментальных последовательностей тоже считались "действительными числами". А числа в старом смысле решили называть "рациональными". Какой криминал Вы усматриваете в таком подходе к определению понятий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Мастак в сообщении #1022973 писал(а):
но строится же иное, подобно тому, как "строится" "множество всех множеств

Отнюдь, строительство действительных чисел идет "снизу вверх" от уже построенного фундамента — множества рациональных чисел. А множество всех множеств вовсе не строится, а предполагается уже существующим, "построенным в облаках" без опоры на какой-либо фундамент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 15:55 


01/07/08
836
Киев
epros в сообщении #1023008 писал(а):
А числа в старом смысле решили называть "рациональными". Какой криминал Вы усматриваете в таком подходе к определению понятий?

Вопрос о "криминале" не подлежит юрисдикции нашего форума. Тем более, что сложные вопросы решаются "мозолистой рукой" :-) модератора, т.е. закрываются :-( . А вот "непонятки".
Цитата:
Одну я помню.
Множество вещественных содержит все свои предельные елементы. И непонятно куда его расширять. Но по Кантору, множество всех подмножеств несчетного
множества является расширением множества вещественных. Где и как можно использовать невещественные элементы этого расширения:?:
С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 16:06 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Тут какая-то смесь. Вещественные числа получаются из рациональных не как множество подмножеств последних.

-- Ср июн 03, 2015 18:07:12 --

hurtsy в сообщении #1023095 писал(а):
Тем более, что сложные вопросы решаются "мозолистой рукой" :-) модератора, т.е. закрываются :-( .
Как же, как же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10986
arseniiv в сообщении #1023099 писал(а):
Тут какая-то смесь. Вещественные числа получаются из рациональных не как множество подмножеств последних.
Наверное имелось в виду, что вещественные числа получаются как множество подмножеств натуральных, а множество натуральных вроде как равномощно множеству рациональных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 19:55 


01/07/08
836
Киев
epros в сообщении #1023129 писал(а):
Наверное имелось в виду, что вещественные числа получаются как множество подмножеств натуральных,

Спасибо, за подсказку. :wink: Скорее имелось ввиду школьное представление рациональных бесконечными десятичными периодическими дробями. Выше применялся школьный признак вещественного(иррационального числа), а это признак для рациональных. Что имел в виду arseniiv легко узнать у него. С уважением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 21:20 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
Всё же эти три, вообще-то признанные, способа-приема определения вещественных чисел - квазиконструктивны, имхо, так как в них делается попытка определить
что-то, имеющее в своей природе бесконечное (иррациональные числа в, например, попытках записи численного выражения), через что-то с конечной природой (рациональные числа), что при использовании таких определений: либо приведет к парадоксам (вроде "часть равна целому" и пр.), либо потребует применять такую же символьную абстракцию в логике решений, либо вынудит (в оценках, в вычислениях, ....) заменять иррациональные числа подходящими по требованиям рассуждения рациональными.

~~~~~
И ни один из этих приемов-способов-теорий никак не заботится о целостности, ограничившись сплошностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 22:01 


01/07/08
836
Киев
Мастак в сообщении #1023157 писал(а):
при использовании таких определений: либо приведет к парадоксам (вроде "часть равна целому" и пр.), либо потребует применять такую же символьную абстракцию в логике решений, либо вынудит (в оценках, в вычислениях, ....) заменять иррациональные числа подходящими по требованиям рассуждения рациональными.

~~~~~
И ни один из этих приемов-способов-теорий никак не заботится о целостности, ограничившись сплошностью.

Имхо, "часть равна целому" - лежит в основе определения понятия бесконечности и вряд ли кто считает этот формализм парадоксом. Успехи классической механики начиная от Ньютона и до наших дней достигнуты именно на этом пути и история этого тянется с времен античности. Однако квантовая механика неумолима и вопрос целостности, сплошности (как вы его определяете) актуален и открыт уже порядка ста лет. С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств без парадоксов?
Сообщение03.06.2015, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Мастак в сообщении #1023157 писал(а):
Всё же эти три, вообще-то признанные, способа-приема определения вещественных чисел - квазиконструктивны, имхо, так как в них делается попытка определить
что-то, имеющее в своей природе бесконечное (иррациональные числа в, например, попытках записи численного выражения), через что-то с конечной природой

Э-э-э . . . конструктивизм?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group