Теория множеств без парадоксов?

[SomePupil]

Недавно прочел письма Кантора. Оказалось, что он в самом начале зарождения своей теории уже знал про парадоксы типа Рассела и, более того, учел их. Для этого он ввел в рассмотрение классы, чтобы различать их от множеств (и это в канторовское то время!)

Возникли следующие вопросы: в чем причина многолетней шумихи вокруг парадоксов теории множеств? Можно ли назвать Канторовскую теорию множеств теорией в строгом смысле этого слова?

[Xaositect]

У Кантора, насколько я помню, не было строгой теории именно по поводу различения классов и множеств. Я помню только то, что он отделял "абсолютно бесконечные" совокупности от бесконечных множеств на основании каких-то философских аргументов, без математических определений.
Но я, возможно, просто не читал того, что читали Вы. Можно ссылку?

[Мастак]

А разве введение представления о классе (как произвольной совокупности, которая может и не быть множеством) снимала проблему парадоксов,
которые вообще-то обрушивали (как говорят, наивную) теорию множеств?

Ведь все преодоления парадоксов начинали с разных определений понятия класса (так как предмтпвление "множество, которое - не множество" само парадоксально). 8^)

[bot]

Мастак в сообщении #1022851 писал(а):

так как предмтпвление "множество, которое - не множество" само парадоксально

А чем оно парадоксально? Для того и слово "класс" ввели. Более парадоксально в таком случае число, которое не действительное, а комплексное. А ещё раньше не рациональное, а действительное.

[Мастак]

bot в сообщении #1022960 писал(а):

Мастак в сообщении #1022851 писал(а):

так как предмтпвление "множество, которое - не множество" само парадоксально

А чем оно парадоксально? Для того и слово "класс" ввели. Более парадоксально в таком случае число, которое не действительное, а комплексное. А ещё раньше не рациональное, а действительное.

"Сделать хотел утюг, Слон получился вдруг"

так и расхожие конструктивные способы определения вещественного числа
(теория фундаментальных последовательностей, теория бесконечных десятичных дробей, теория сечений) грешат теми же парадоксами: берут рацион. числа и из их конструируют "что-то", при этом под разными соусоми как разные блюда подсовывая аксиому непрерывности (полноты), заявляя, что все рациональные и все такие "что-то" есть все действительные (вещественные) числа, то есть опять: то, из чего строили, объявляют таким же с тем, что построено (но строится же иное, подобно тому, как "строится" "множество всех множеств")
...
и без аксиоматики вещественных чисел - парадоксы, а аксиоматика действует до обнаружения новых парадоксов, ИМХО

[bot]

Мастак в сообщении #1022973 писал(а):

при этом под разными соусоми как разные блюда подсовывая аксиому непрерывности (полноты)

Не подсовывая, а проверяя для конкретной модели. При аксиоматическом определении - да, подсовываем вводим такую аксиому. Чтобы убедиться в совместности взятой системы аксиом, строим модель, пополняя поле рациональных. Кроме того убеждаемся в единственности в некотором смысле.

[epros]

Мастак в сообщении #1022973 писал(а):

аксиому непрерывности (полноты)

А что Вам не нравится? Вот мы решили определить понятие "штука" таким образом, что это -- одна из данных двух гантелей и одного утюга. Утверждение о полноте понятия будет говорить всего лишь о том, что не бывает "штук", отличных от указанных. Т.е. вот этот мяч -- уже не "штука". В своё время понятие "числа" определяли таким образом, что длина диагонали единичного квадрата считалась не "числом".

Связать понятие полноты с непрерывностью -- это другой подход. Вот не понравилось математикам, что не всякая фундаментальная последовательность чисел имеет пределом число. Они и решили определить "действительное число" таким образом, чтобы все пределы фундаментальных последовательностей тоже считались "действительными числами". А числа в старом смысле решили называть "рациональными". Какой криминал Вы усматриваете в таком подходе к определению понятий?

[whitefox]

Мастак в сообщении #1022973 писал(а):

но строится же иное, подобно тому, как "строится" "множество всех множеств

Отнюдь, строительство действительных чисел идет "снизу вверх" от уже построенного фундамента — множества рациональных чисел. А множество всех множеств вовсе не строится, а предполагается уже существующим, "построенным в облаках" без опоры на какой-либо фундамент.

[hurtsy]

epros в сообщении #1023008 писал(а):

А числа в старом смысле решили называть "рациональными". Какой криминал Вы усматриваете в таком подходе к определению понятий?

Вопрос о "криминале" не подлежит юрисдикции нашего форума. Тем более, что сложные вопросы решаются "мозолистой рукой" модератора, т.е. закрываются . А вот "непонятки".

Цитата:

Одну я помню.

Множество вещественных содержит все свои предельные елементы. И непонятно куда его расширять. Но по Кантору, множество всех подмножеств несчетного
множества является расширением множества вещественных. Где и как можно использовать невещественные элементы этого расширения:?:
С уважением,

[arseniiv]

Тут какая-то смесь. Вещественные числа получаются из рациональных не как множество подмножеств последних.

-- Ср июн 03, 2015 18:07:12 --

hurtsy в сообщении #1023095 писал(а):

Тем более, что сложные вопросы решаются "мозолистой рукой" модератора, т.е. закрываются .

Как же, как же.

[epros]

arseniiv в сообщении #1023099 писал(а):

Тут какая-то смесь. Вещественные числа получаются из рациональных не как множество подмножеств последних.

Наверное имелось в виду, что вещественные числа получаются как множество подмножеств натуральных, а множество натуральных вроде как равномощно множеству рациональных.

[hurtsy]

epros в сообщении #1023129 писал(а):

Наверное имелось в виду, что вещественные числа получаются как множество подмножеств натуральных,

Спасибо, за подсказку. Скорее имелось ввиду школьное представление рациональных бесконечными десятичными периодическими дробями. Выше применялся школьный признак вещественного(иррационального числа), а это признак для рациональных. Что имел в виду arseniiv легко узнать у него. С уважением.

[Мастак]

Всё же эти три, вообще-то признанные, способа-приема определения вещественных чисел - квазиконструктивны, имхо, так как в них делается попытка определить
что-то, имеющее в своей природе бесконечное (иррациональные числа в, например, попытках записи численного выражения), через что-то с конечной природой (рациональные числа), что при использовании таких определений: либо приведет к парадоксам (вроде "часть равна целому" и пр.), либо потребует применять такую же символьную абстракцию в логике решений, либо вынудит (в оценках, в вычислениях, ....) заменять иррациональные числа подходящими по требованиям рассуждения рациональными.

~~~~~
И ни один из этих приемов-способов-теорий никак не заботится о целостности, ограничившись сплошностью.

[hurtsy]

Мастак в сообщении #1023157 писал(а):

при использовании таких определений: либо приведет к парадоксам (вроде "часть равна целому" и пр.), либо потребует применять такую же символьную абстракцию в логике решений, либо вынудит (в оценках, в вычислениях, ....) заменять иррациональные числа подходящими по требованиям рассуждения рациональными.

~~~~~
И ни один из этих приемов-способов-теорий никак не заботится о целостности, ограничившись сплошностью.

Имхо, "часть равна целому" - лежит в основе определения понятия бесконечности и вряд ли кто считает этот формализм парадоксом. Успехи классической механики начиная от Ньютона и до наших дней достигнуты именно на этом пути и история этого тянется с времен античности. Однако квантовая механика неумолима и вопрос целостности, сплошности (как вы его определяете) актуален и открыт уже порядка ста лет. С уважением,

[whitefox]

Мастак в сообщении #1023157 писал(а):

Всё же эти три, вообще-то признанные, способа-приема определения вещественных чисел - квазиконструктивны, имхо, так как в них делается попытка определить
что-то, имеющее в своей природе бесконечное (иррациональные числа в, например, попытках записи численного выражения), через что-то с конечной природой

Э-э-э . . . конструктивизм?