Уравнения математической физики

[hotrat]

Дано уравнение:
$u_{ttxx}=u_{tt}^2$

1) Найти характеристики уравнения.

Делаю следующим образом:
Характеристическое уравнение
$\varphi_{t}^2\varphi_{x}^2=0,$
из него $\varphi_{t}=0$ или $\varphi_{x}=0$, а значит $\varphi=f(x)$, $\varphi=f(t)$, то есть $x= \operatorname{const}$, $t= \operatorname{const}$. В таком случае наше уравнение гиперболического типа.

Вопрос: верно ли определен тип и найдены характеристики?

2) Найти общее решение.

Тут проблем гораздо больше. Предполагаю, что нужно сделать замену вида $v=u_{tt}$ в таком случае наше уравнение будет представлено в виде $v_{xx}=v^2$ Насколько я понимаю в данном случае решение находится как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Вопросы: Верно ли рассуждаю, и как найти частное решение неоднородного уравнения?

[svv]

hotrat в сообщении #1022886 писал(а):

Насколько я понимаю в данном случае решение находится как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Нет, общее решение представляется в виде такой суммы только для линейных уравнений, а $v_{xx}=v^2$ нелинейное.

[Red_Herring]

Вам надо найти общее решение неоднородного, но оно на самом деле сводится к ОДУ $v_{xx}=v^2$ по $x$ (но возникающие "константы" будут на самом деле ф-ями от $t$), а потом дважды проинтегрировать по $t$ (но возникающие "константы" будут на самом деле ф-ями от $x$)

[svv]

Злой дядя устроил так, что в результате решения ОДУ функция Вейерштрасса получается.

[Утундрий]

А что, есть какая-то общая теория характеристик для уравнений выше второго порядка?

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1022923 писал(а):

А что, есть какая-то общая теория характеристик для уравнений выше второго порядка?

Понятие характеристической поверхности существует для любых размерностей, порядков и размерностей систем. При этом случай двух переменных (1й пространственной и 1й временной) существенно проще.

[hotrat]

Red_Herring в сообщении #1022900 писал(а):

Вам надо найти общее решение неоднородного, но оно на самом деле сводится к ОДУ $v_{xx}=v^2$ по $x$ (но возникающие "константы" будут на самом деле ф-ями от $t$), а потом дважды проинтегрировать по $t$ (но возникающие "константы" будут на самом деле ф-ями от $x$)

Хорошо, после выше указанной замены и умножения обеих частей выражения на $v_{x}$ получим

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2} v_x^2 \right] = \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}v(x,t)^3\right]$$

Далее не совсем ясно как это дело интегрировать да еще и дважды, у меня получается следующее:

$$\int{\frac{\partial{\left(v(x,t)\right)}}{\sqrt{\frac23 v^3(x,t)+\varphi_0(t)}}}=\pm x+\lambda(t)$$

Что я делаю не так?

[Red_Herring]

В первом выражении производная частная; во втором "d" прямое. Как Вам писал

svv в сообщении #1022902 писал(а):

Злой дядя устроил так, что в результате решения ОДУ функция Вейерштрасса получается.

т.е. слева у Вас получается специальная функция т.е. хотя у Вас есть уравнение $F(v, \varphi_0(t))=\pm x +\lambda(t)$ найти из него $v$ не получается. Но если бы это было возможно: $v= g(x,t)$, $u_{tt}=g(x,t)$ и дальше двойное интегрирование.

[hotrat]

Red_Herring в сообщении #1030799 писал(а):

т.е. слева у Вас получается специальная функция.

В таком случае, может ли кто-нибудь подсказать, где кратко почитать о том как выразить все это дело в терминах эллиптических функций Вейерштрасса (кроме как в wiki)? Или, что было бы лучше, приведите похожий пример где применяется такой трюк.