Геометрическая задача

[almagel]

Нужно доказать, что при помощи ортогональной проекции можно любой треугольник превратить в равносторонний.

Треугольник располагаем в пространстве, как-то располагаем плоскость, на которую проектируем, делаем проекцию.

Никак не могу придумать решение.

Вот, до чего я дошёл.

Понятно, что (ортогональная) проекция даёт аффинное преобразование плоскости. Любой треугольник можно перевести некоторым аффинным преобразованием в правильный. Попробуем описать аффинные преобразования, которые можно получить как ортогональную проекцию плоскости в плоскость (обе плоскости предварительно расположили в 3-мерном пространстве). Нетрудно видеть, что любое такое преобразование при правильном выборе базисов в обеих плоскостях (заметим, что плоскости разные, поэтому закон преобразования матрицы у нас немного необычный: $A' = CAD^{-1}$) является диагональным и имеет два собственных числа: 1 (соответствует прямой пересечения плоскостей) и одно собственное число, меньшее единице (соответствует ортогональному направлению, заметим, что тут можно выбрать ортогональный базис). Поэтому для решения задачи достаточно установить следующее: любой треугольник можно отобразить в правильный посредством сжатия относительно некоторой прямой.

Всё, на этом я пока заглох. Никаких идей, кроме как составить уравнения, и попытаться их напрямую решить, нет.

[Oleg Zubelevich]

треугольник определяется двумя векторами $a,b$. Плоскость определяется своим вектором единичной нормали $n$. Оператор проектирования $Pa=a-(a,n)n$. Надо доказать, что существует единичный вектор $n$ такой, что $|Pa|^2=|Pb|^2,\quad (Pa,Pb)=|Pa||Pb|/2$. Введем такую декартову систему координат, что вектор $a$ идет вдоль оси $x$, а вектор $b$ лежит в плоскости $xy$.

[mihailm]

Из соображений непрерывности. Положим одну сторону (пусть $a$) на проектируемую плоскость, тогда третья вершина данного треугольника проецируется в отрезок, перпендикулярный этой стороне и смотрим, где вершина равностороннего треугольника, построенного на стороне $a$ будет. Поднимаем, за одну вершину сторону $a$ вертикально. В проекции третьей вершины данного треугольника будет окружность, а равносторонний треугольник, построенный на проекции стороны $a$ стянется в точку. Там где-то посередине (если конечно сторона $a$ не основание равнобедренного треугольника) получится равносторонний треугольник.

[grizzly]

Насчёт соображений непрерывности -- вспомнил вот про кипячение полного чайника :)

На проектируемой плоскости нарисуем правильный треугольник. Через его вершины проведём перпендикулярные к плоскости прямые. Задача, очевидно, сводится к следующей (в некотором смысле равносильной): на указанных прямых отметить по одной точке так, чтобы образовавшийся треугольник был подобен данному. (Ничего не напоминает? :)

Рассуждение проведём для неравнобедренного треугольника (для равнобедренного решение очевидно).

Возьмём сначала 2 точки $A, B$ на пересечении двух прямых с данной плоскостью. ГМТ (геометрическое место точек) точек $C$, при которых $ABC$ подобен данному, есть окружность, лежащая в плоскости, параллельной третьей прямой. Зафиксируем теперь т.$A$, а $B$ станем удалять по своей прямой, следя за поведением соответствующего ГМТ т.$C:$ радиус окружности будет расти, плоскость окружности будет стремиться стать перпендикулярной к нашим прямым. Следовательно, третья прямая в скорости окажется внутри этой окружности. Из соображений непрерывности заключаем, что при некотором положении т.$B$ окружность пересечёт третью прямую в искомой т.$C$.

Получилось не намного длиннее, но чуть прозрачнее (имхо).

[almagel]

Спасибо, два последних сообщения (особенно последнее, про чайник) помогли, это верное решение (по крайней мере меня оно полностью убеждает ).

Про чайник не понял, к чему это, если там какая-то интересная история - был бы рад её услышать

[grizzly]

almagel в сообщении #1022993 писал(а):

Про чайник не понял, к чему это, если там какая-то интересная история - был бы рад её услышать

Ну да, это было замечание для тусовки :) Дело в том, что похожая (более сложная) задача о возможности построения подобного треугольника недавно рассматривалась на форуме.

А про "чайник" -- это известная шутка. (Можно посмотреть здесь; поиск по слову "чайник".)