2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическая задача
Сообщение02.06.2015, 15:54 


02/06/15
5
Нужно доказать, что при помощи ортогональной проекции можно любой треугольник превратить в равносторонний.

Треугольник располагаем в пространстве, как-то располагаем плоскость, на которую проектируем, делаем проекцию.

Никак не могу придумать решение.

Вот, до чего я дошёл.

Понятно, что (ортогональная) проекция даёт аффинное преобразование плоскости. Любой треугольник можно перевести некоторым аффинным преобразованием в правильный. Попробуем описать аффинные преобразования, которые можно получить как ортогональную проекцию плоскости в плоскость (обе плоскости предварительно расположили в 3-мерном пространстве). Нетрудно видеть, что любое такое преобразование при правильном выборе базисов в обеих плоскостях (заметим, что плоскости разные, поэтому закон преобразования матрицы у нас немного необычный: $A' = CAD^{-1}$) является диагональным и имеет два собственных числа: 1 (соответствует прямой пересечения плоскостей) и одно собственное число, меньшее единице (соответствует ортогональному направлению, заметим, что тут можно выбрать ортогональный базис). Поэтому для решения задачи достаточно установить следующее: любой треугольник можно отобразить в правильный посредством сжатия относительно некоторой прямой.

Всё, на этом я пока заглох. Никаких идей, кроме как составить уравнения, и попытаться их напрямую решить, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение02.06.2015, 16:12 


10/02/11
6786
треугольник определяется двумя векторами $a,b$. Плоскость определяется своим вектором единичной нормали $n$. Оператор проектирования $Pa=a-(a,n)n$. Надо доказать, что существует единичный вектор $n$ такой, что $|Pa|^2=|Pb|^2,\quad (Pa,Pb)=|Pa||Pb|/2$. Введем такую декартову систему координат, что вектор $a$ идет вдоль оси $x$, а вектор $b$ лежит в плоскости $xy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение02.06.2015, 22:03 


19/05/10

3940
Россия
Из соображений непрерывности. Положим одну сторону (пусть $a$) на проектируемую плоскость, тогда третья вершина данного треугольника проецируется в отрезок, перпендикулярный этой стороне и смотрим, где вершина равностороннего треугольника, построенного на стороне $a$ будет. Поднимаем, за одну вершину сторону $a$ вертикально. В проекции третьей вершины данного треугольника будет окружность, а равносторонний треугольник, построенный на проекции стороны $a$ стянется в точку. Там где-то посередине (если конечно сторона $a$ не основание равнобедренного треугольника) получится равносторонний треугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение03.06.2015, 01:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
Насчёт соображений непрерывности -- вспомнил вот про кипячение полного чайника :)

На проектируемой плоскости нарисуем правильный треугольник. Через его вершины проведём перпендикулярные к плоскости прямые. Задача, очевидно, сводится к следующей (в некотором смысле равносильной): на указанных прямых отметить по одной точке так, чтобы образовавшийся треугольник был подобен данному. (Ничего не напоминает? :)

Рассуждение проведём для неравнобедренного треугольника (для равнобедренного решение очевидно).

Возьмём сначала 2 точки $A, B$ на пересечении двух прямых с данной плоскостью. ГМТ (геометрическое место точек) точек $C$, при которых $ABC$ подобен данному, есть окружность, лежащая в плоскости, параллельной третьей прямой. Зафиксируем теперь т.$A$, а $B$ станем удалять по своей прямой, следя за поведением соответствующего ГМТ т.$C:$ радиус окружности будет расти, плоскость окружности будет стремиться стать перпендикулярной к нашим прямым. Следовательно, третья прямая в скорости окажется внутри этой окружности. Из соображений непрерывности заключаем, что при некотором положении т.$B$ окружность пересечёт третью прямую в искомой т.$C$.

Получилось не намного длиннее, но чуть прозрачнее (имхо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение03.06.2015, 10:26 


02/06/15
5
Спасибо, два последних сообщения (особенно последнее, про чайник) помогли, это верное решение (по крайней мере меня оно полностью убеждает :D ).

Про чайник не понял, к чему это, если там какая-то интересная история - был бы рад её услышать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача
Сообщение03.06.2015, 10:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
almagel в сообщении #1022993 писал(а):
Про чайник не понял, к чему это, если там какая-то интересная история - был бы рад её услышать

Ну да, это было замечание для тусовки :) Дело в том, что похожая (более сложная) задача о возможности построения подобного треугольника недавно рассматривалась на форуме.

А про "чайник" -- это известная шутка. (Можно посмотреть здесь; поиск по слову "чайник".)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group