Вопросы по теории групп (смежные классы, фактор-группа)

[AHOHbIMHO]

Я решил серьезно взяться за эту теорию (по книжке Хамермеша). После нескокльких десятков страниц мозги напрочь отказались работать. Почему смежные классы инавриантной (т.е. самосопряженной) подгруппы H группы G образуют так называемую фактор-группу G/H, порядок которой РАВЕН ИНДЕКСУ подгруппы H? По книжке это вроде как очевидно . А вам?

[PAV]

Сформулируйте, пожалуйста, определение индекса подгруппы.

[AHOHbIMHO]

PAV писал(а):

Сформулируйте, пожалуйста, определение индекса подгруппы.

Насколько помню, индекс подгруппы H в группе G - это отношение порядка группы G к порядку подгруппы H. Теорема Лагранжа гарантирует, что это отношение - целое. Кстати, может собака зарылась именно в доказательстве этой теоремы, перечитаю-ка я его.

[PAV]

AHOHbIMHO писал(а):

Насколько помню, индекс подгруппы H в группе G - это отношение порядка группы G к порядку подгруппы H. Теорема Лагранжа гарантирует, что это отношение - целое. Кстати, может собака зарылась именно в доказательстве этой теоремы, перечитаю-ка я его.

Ну правильно, факторгруппа G/H состоит из смежных классов, каждый из которых имеет объем |H|. А их количество, стало быть, равно как раз |G|/|H|.

В других курсах индекс подгруппы H определяется как раз как объем факторгруппы G/H. Такое определение, насколько я понимаю, лучше тем, что объемы G и H могут быть бесконечными, при том что объем G/H может быть конечным.

[AHOHbIMHO]

PAV писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

Насколько помню, индекс подгруппы H в группе G - это отношение порядка группы G к порядку подгруппы H. Теорема Лагранжа гарантирует, что это отношение - целое. Кстати, может собака зарылась именно в доказательстве этой теоремы, перечитаю-ка я его.

Ну правильно, факторгруппа G/H состоит из смежных классов, каждый из которых имеет объем |H|. А их количество, стало быть, равно как раз |G|/|H|.

В других курсах индекс подгруппы H определяется как раз как объем факторгруппы G/H. Такое определение, насколько я понимаю, лучше тем, что объемы G и H могут быть бесконечными, при том что объем G/H может быть конечным.

А, ну да, т.е. это очевидно, если вспомнить, что количество смежных классов равно количество элементов группы G (каждый элемент дает один смежный класс). Действительно, очевидно

[Dolopihtis]

Дело в том, что смежные классы обладают тем свойством, что они между собой не пересекаются, а все вместе покрывают всю группу G. Поскольку в каждом смежном классе по{H} элементов, то количество смежных классов, умноженное на {H} , равно {G}.
А количество смежных классов - это и есть порядок фактор группы.

[AHOHbIMHO]

PAV, Dolopihtis, спасибо! Не мог сообразить, что каждый элемент дает один отличающийся от других смежный класс.

[AHOHbIMHO]

И еще, один вопросик. Я встретил понятие - совокупность, или что то же самое, комплекс. Это синоним подмножеству? Если нет, то чем они отличается?

[PAV]

AHOHbIMHO писал(а):

каждый элемент дает один отличающийся от других смежный класс.

Стоп, это неверно. Не каждый элемент группы G дает отличающийся от других смежный класс. Например, все элементы самой подгруппы H дают один и тот же смежный класс, совпадающий с этой подгруппой.

[PAV]

А вообще я бы рекомендовал читать "Алгебру" Ленга...

[AHOHbIMHO]

PAV писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

каждый элемент дает один отличающийся от других смежный класс.

Стоп, это неверно. Не каждый элемент группы G дает отличающийся от других смежный класс. Например, все элементы самой подгруппы H дают один и тот же смежный класс, совпадающий с этой подгруппой.

Разве? Счас, подумаем.

[PAV]

Если бы все элементы G порождали бы разные смежные классы, то порядок факторгруппы G/H был бы равен порядку G. Правильный ответ |G|/|H| получается как раз из-за того, что элементы G разбиваются на подмножества (по |H| элементов в каждом), причем элементы каждого из этих подмножеств порождают один и тот же смежный класс.

[AHOHbIMHO]

Берем элемент a, и составляем смежный класс из элементов $a h_1, a h_2, ...a h_{|H|}$, где $ h_1, h_2, ...a h_{|H|}$ - элементы подгруппы H. Пока верно?

[Dolopihtis]

AHOHbIMHO писал(а):

И еще, один вопросик. Я встретил понятие - совокупность, или что то же самое, комплекс. Это синоним подмножеству? Если нет, то чем они отличается?

Насколько я знаю, похожий термин используется в некоторых книжках по теории групп для упрощения записи. Комплекс GH - это множество всевозможных G ,умноженных на всевозможные H. Т.е например смежный класс - это комплекс G_kH,где G_k фиксировано , а H пробегает все элементы H.

[PAV]

AHOHbIMHO писал(а):

Берем элемент a, и составляем смежный класс из элементов $a h_1, a h_2, ...a h_{|H|}$, где $ h_1, h_2, ...a h_{|H|}$ - элементы подгруппы H. Пока верно?

Пока верно, тем более что ничего не утверждается

Если взять любой элемент из построенного смежного класса, то он породит тот же смежный класс. И других элементов, порождающих тот же класс, нет.