Равностепенная непрерывность

[HenryDukart]

Не могу показать, что множество $M=\{t^{\alpha}, \alpha\in (0,1) \}$ не является предкомпактным в $C[0, 1]$. Я попытался использовать теорему Арцела-Асколи. Множество равномерно ограничено, но производная не ограничена. Я пытаюсь подобрать такие точки и степень, чтобы доказать отсутствие равностепенной непрерывности. Но у меня не получается. Помогите, пожалуйста.

$max_{t \in [0,1], \alpha \in (0,1)} \left | t^{\alpha} \right | \leqslant 1$
$\left ( t^{\alpha} \right )' = \frac{\alpha}{t^{1-\alpha}} $ — неограничена в нуле.

Хочется подобрать такие точки, чтобы расстояние между ними стремилось к 0, но при возведении в определенную степень, оно стало константой.
Я пробовал брать точки $1$ и $1-1/n$ со степенью $1-1/n$. Я полагал, что так как $1-1/n<1$, то
$\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n})^{1-\frac{1}{n}}=0$, но пересчитав предел, я нашел, что он также равен 1, как и $\lim_{n \to \infty}1^{1-\frac{1}{n}}=1$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- приведите конкретные попытки решения и укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

А как там у нее с предкомпактностью? просто по определению?

[HenryDukart]

Otta
у множества?

[Otta]

Угу, у ней. :)

[HenryDukart]

Otta
Множество М в банаховом пространстве Е предкомпакнто, если из каждой последовательности из М можно выделить фундаментальную последовательность.

[HenryDukart]

Можно ли сделать так?
Возьмем последовательность функций $x_{n}(t)=t^{\frac{1}{n}}$. Тогда для $k > n:$
$\left \| x_n - x_k \right \| = max_{t \in [0,1]} \left | t^{\frac{1}{n}} - t^{\frac{1}{k}} \right | \geqslant \left [ t= \left (\frac{1}{2} \right )^{n} \right ] \geqslant \left (\frac{1}{2} \right )^{\frac{n}{k}} - \frac{1}{2} \to 1/2 $ при $k \to \infty$
Значит, последовательность $x_{n}(t)$ не содержит последовательности Коши и, следовательно, множество не предкомпактно.

[Brukvalub]

Верно.

[HenryDukart]

Brukvalub
Спасибо.