Электродинамика излучение

[watmann]

Здравствуйте,
решаю задачу по теории излучения.
Полную интенсивность нашла, но с угловым распределением проблемы.
Вот сама задача:
Колебания двух электрических дипольных осцилляторов имеют одинаковую частоту $\omega$, но сдвинуты по фазе на $\frac{\pi}{2}$. Амплитуды дипольных моментов равны по величине d и направлены под углом $\varphi$ друг к другу. Расстояние между осцилляторами мало по сравнению с длиной волны. Найти угловое распределение интенсивности и полную интенсивность излучения.

Угловое распределение искала так:
$\frac{dI}{d\Omega}$=$\frac{\left\langle\ddot{\vec{d}}\times \vec{n}\right\rangle^{2}}{4\pi c^{3}}$
$d_{ox}$=$d\cdot\cos\omega t$
$d_{oy}$=$d\cdot\sin\omega t$
$d_{oz}$=0
$\ddot{d_ox}$= -$\omega^{2}$\cdot{d}$\cos\omega t$
$\ddot{d_oy}$= -$\omega^{2}$\cdot{d}$\sin\omega t$
$\left\langle\ddot{\vec{d}}\times\vec{n}\right\rangle^{2}$ = $\ddot{d^{2}}\vec{n^{2}}-\left\langle\ddot{\vec{d}}\cdot\vec{n}\right\rangle^{2}$

Вот собственно со вторым слогаемым я никак не могу разобраться.
Заглянула в конец Батыгина. Там выбираются два угла $\theta$ и $\alpha$ для обозначения полярных углов $\vec{n}$. Я не понимаю откуда два полярных угла и где они находятся. $\vec{n}$ направлен вдоль распространения волны. В итоге, я поняла что даже не знаю куда направить этот злополучный $\vec{n}$ и окончательно запуталась.

[mihiv]

А как вы нашли полную интенсивность без углового распределения?

watmann в сообщении #1022071 писал(а):

Угловое распределение искала так:
$\frac{dI}{d\Omega}$=$\frac{\left\langle\ddot{\vec{d}}\times \vec{n}\right\rangle^{2}}{4\pi c^{3}}$

В задаче два дипольных момента, а в вашей формуле только один.

watmann в сообщении #1022071 писал(а):

Там выбираются два угла $\theta$ и $\alpha$ для обозначения полярных углов $\vec{n}$. ... не понимаю откуда два полярных угла и где они находятся.

$\theta $-угол между вектором $\vec n$ и осью $z$, $\alpha $-угол между осью $x$ и проекцией вектора $\vec n$ на плоскость $xoy$.

[Cos(x-pi/2)]

Да. Для ясности картинку ниже нарисовал, и вот подробные пояснения к ней:

watmann

Сначала представьте себе одну точку $O$ (она будет у нас началом системы координат), и пусть в ней "проживают" два вектора: $\vec{d}_1,\, \vec{d}_2.$ Ведь по условию задачи расстояние между излучающими диполями мало по сравнению с длиной волны, а ЭМ-излучение надо найти на больших расстояниях от них; значит, можно полагать, что оба диполя расположены практически в одной точке.

Через эти два вектора $\vec{d}_1,\, \vec{d}_2$ можно мысленно провести плоскость и как-нибудь выбрать в ней направления двух декартовых координатных осей $x, \, y,$ тогда третья ось, то есть ось $z,$ будет перпендикулярна к этой плоскости. Для расчётов удобно направление одной из осей, например, $x,$ выбрать параллельно одному из диполей, например, $\vec{d}_1.$

Векторы ЭМ-поля $\vec{H}, \, \vec{E}$ мы ищем в произвольной точке $P$ (её называют "точкой наблюдения" поля). В данной задаче она может располагаться в любом направлении относительно наших координатных осей, на растоянии многих длин волн от точки $O.$ Положение точки наблюдения описывается радиус-вектором $\vec{r}=\overrightarrow{OP},$ а его направление даётся единичным вектором $\vec{n}=\vec{r}/r.$ Всё это схематично изобразил на картинке:



В формулах у Вас есть неточность. Угловые скобки означают усреднение по времени (за период колебания) квадрата напряжённости поля. Поэтому степень "два", означающая здесь скалярное произведение вектора самого на себя, должна быть внутри угловых скобок, а не снаружи (это влияет на вычисления и результат):

$\dfrac{dI}{d\Omega}=\dfrac{\langle (\ddot{\vec{d}}\times \vec{n})^2 \rangle}{4\pi c^{3}}$

Ну, а дальше надо будет учитывать, что

$\vec{d}=\vec{d}_1+\vec{d}_2$ , где:

$\vec{d}_1 \, =\, \vec{n}_1 \, p_0 \, \cos \omega t$ ,
$\vec{d}_2 \, =\, \vec{n}_2 \, p_0 \, \sin \omega t$ ,

$\vec{n}_1, \, \vec{n}_2$ есть единичные векторы направления колебаний диполей:

$\vec{n}_1=\vec{e}_x$ ,
$\vec{n}_2=\vec{e}_x \cos \varphi + \vec{e}_y \sin \varphi$ ,

символами $\vec{e}_k$ обозначены орты декартовой системы координат, показанной выше на рисунке.

[Munin]

watmann в сообщении #1022071 писал(а):

Колебания двух электрических дипольных осцилляторов имеют одинаковую частоту $\omega$, но сдвинуты по фазе на $\frac{\pi}{2}$. Амплитуды дипольных моментов равны по величине d и направлены под углом $\varphi$ друг к другу. Расстояние между осцилляторами мало по сравнению с длиной волны.

В такой ситуации надо попросту сложить алгебраически дипольные моменты, и посчитать излучение получившегося диполя :-)

[Cos(x-pi/2)]

Для полной ясности ещё подсказка: при усреднении по времени обратятся в ноль произведения $\ddot{\vec{d}}_1$ c $\ddot{\vec{d}}_2,$ так как они содержат функцию $\cos \omega t \, \sin \omega t, $ имеющую нулевое среднее. Ненулевой вклад в

$\langle (\ddot{\vec{d}}\times \vec{n})^2 \rangle=\langle \ddot{\vec{d}}^2 \rangle - \langle (\ddot{\vec{d}} \cdot \vec{n})^2 \rangle =$

происходит от

$=\langle \ddot{\vec{d}}^2_1 \rangle + \langle \ddot{\vec{d}}^2_2 \rangle - \langle (\ddot{\vec{d}}_1 \cdot \vec{n})^2 \rangle - \langle (\ddot{\vec{d}}_2 \cdot \vec{n})^2 \rangle \, .$