Вторая квадратичная форма поверхности

[kond]

Тогда гауссова кривизна равняется 0. А средняя $ Trace H = bg^{-1} $, где g - первая квадратичная форма поверхности

-- 31.05.2015, 21:00 --

$ H = Trace [bg^{-1}] $

[svv]

Да. Если гауссова кривизна равна нулю — это важное свойство. Такие поверхности имеют специальное название — развёртывающиеся. Их можно наложить (локально) на плоскость, изгибая, но не растягивая и не сжимая (а сферу, как известно, — нельзя).

Я сначала хотел прийти к ответу примерно таким путём.
Главные кривизны $k_1, k_2$ — это собственные значения обобщенной задачи о собственных значениях

$$B\mathbf x=kG\mathbf x\;,\eqno{(*)}$$

где $B$ — матрица второй квадратичной формы, а $G$ — первой. Так как $\det B=0$, нуль является её собственным значением: существует такой ненулевой $\mathbf x$, что $B\mathbf x=0\mathbf x=\mathbf 0$. Если подставить этот $\mathbf x$ и $k=0$ в ${(*)}$, оно удовлетворится. Следовательно, одна из главных кривизн равна нулю. Следовательно, $K=k_1 k_2=0$.
Но подумал: нет, сложно. Возьмём уже готовую формулу.

[kond]

Если подумать, то нормально. Нужно вспомнить немного линейной алгебры.

Но я не понимаю почему равенство гауссовой кривизны нулю является достаточным условием.

[svv]

Достаточным для ... ?

[kond]

Чтобы вторая квадратичная форма была полным квадратом.

-- 31.05.2015, 21:26 --

Определитель бывает равным нулю, а следовательно, и равенство гауссовой кривизны нулю, не только когда вторая форма полный квадрат.

[svv]

Попробуем обратить рассуждения.
Гауссова кривизна $K$ равна нулю.
Числитель формулы для $K$ равен нулю, откуда $LN=M^2$.
Дальше, отсюда понятно, что $L$ и $N$ не могут быть разных знаков, иначе в левой части будет отрицательное число, хотя $M^2$ неотрицательно. Значит, их можно представить в виде
$L=ca^2$
$N=cb^2$
где $c=+1$ или $c=-1$, но одно и то же для $L$ и $N$, $a$ и $b$ — некоторые числа. Тогда $M^2=(cab)^2$, откуда $M=\pm cab$
Таким образом,
$L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2=c(a^2\,du^2\pm 2ab\,du\,dv+b^2\,dv^2)$,
где в скобках полный квадрат. Если $c=1$, то всё в порядке, ну, а если $c=-1$, то предлагаю на выбор:
$\bullet$ считать, что ничего нельзя сделать;
$\bullet$ считать, что и так хорошо, почти полный квадрат, только со знаком минус впереди;
$\bullet$ представить $c=i^2$ и внести $i$ под скобку;
$\bullet$ изменением знака нормали к поверхности умножить всю форму на $-1$.

[kond]

Согласен.

Можно было и самому решить, видимо, лень мешает.

Спасибо большое за помощь.

[svv]

Пожалуйста.