МС, метод максимального правдоподобия, оценка параметра

[Otta]

Greg_st в сообщении #1021701 писал(а):

Сам запутался окончательно и, кажется, Вас запутал.

Это кажется.

Greg_st в сообщении #1021701 писал(а):

Мы же работаем с фиксированной выборкой размером $n = n_1 + n_2 + n_3$

А что такое выборка?

(Оффтоп)

Там кнопичка "Вставка" есть. Выделяете текст-жмете. Для цитирования страсть как удобно. Главное, постом не промахнуться.

[Otta]

Я чувствую, Вы не понимаете. Окей. Смотрите. Бросается трехгранный кубик. Вполне фиксированное число раз бросается. Мы знаем, сколько. Синяя грань у него выпадает с одной вероятностью, красная с другой, зеленая с третьей. Черт знает с какими вероятностями, мы без понятия. Ну что-то знаем, но не вполне. Мы, собссно, и затеялись его бросать с тем, чтобы эти вероятности оценить. Но нам нужно знать, фактически, сколько раз выпала зеленая грань, с тем, чтобы посчитать м.о. числа таких исходов во всей серии. Случайная ли это величина? конечно. Как она распределена? да, в общем, тоже известно. И даже название у нее есть. Какое?

[--mS--]

Да нет, раз выборка - набор чисел, надо отправлять учить определения. Какие неравенства Рао - Крамера, какие оценки!

[Otta]

Выучит еще. :) Пока ТС вопрос показался праздным. ))

[Greg_st]

Кажется разобрался. Если и тут накосячил - посыпаю голову пеплом и закапываюсь в справочники.

Моя основная ошибка - я считал величины $n_1$, $n_2$ и $n_3$ неслучайными из-за того, что нам известна $n$. Пример с кубиком - поразительно универсальная вещь
То есть, условие "имеем выборку из $n$ элементов" интерпретировал, как "имеем выборку из $n$ элементов, причем $x_1$ выпал $n_1$ раз, $x_2$ - $n_2$ раз и $x_3$ - $n_3$ раз". Собственно, на этом моменте рассуждения и клинились.

Дальше, по поводу мат. ожидания. Тут самое слабое место рассуждений - некоторые определения просто не хотят откладываться в голове, пытаюсь восполнять изучением примеров.
Итак, абстрагируясь от километровых рассуждений, мат. ожидание у нас - некое среднее, которое мы ожидаем увидеть.
Исходя из вероятностей, представленных в условии, мы ожидаем увидеть $\Theta n$ элементов $x_1$, $2\Theta n$ элементов $x_2$ и (самое главное для нас) $(1 - 3\Theta)n $ элементов $x_3$. Суммируем для проверки вышеуказанные величины, получаем $n$.
Таким образом, мат. ожидание $n_3$ будет равно $(1 - 3\Theta)n $.
Тут же, пока мысль не потерялась, использую совет с заменой $n_1 + n_2$ и нахожу $M(\hat{\Theta})$.

$$ M(\hat{\Theta}) = M(\frac{n - n_3}{3n}) = M(\frac{1}{3} - \frac{n_3}{3n}) = \frac{1}{3} - \frac{Mn_3}{3n} = \frac{1}{3} - \frac{1 - 3\Theta}{3} = \Theta $$

Отсюда очень своевременно выходит, что оценка несмещенная (условие необходимое, а было проигнорировано в первых выкладках).

Собственно, дальше $D(\hat{\Theta})$ будет вычисляться, как $M(\hat{\Theta} - \Theta)^2$ и подставляться в "заготовку" из прошлых постов под Рао-Крамера. Пока, правда, выскакивает проблема с мат. ожиданием $\Theta$ (именно параметра исходного), но тут уже, насколько понимаю, пойдёт возня со скобками и выражением одних величин через другие. Тем более, что сам $\Theta$ может принимать только определенные значения и они легко вычисляются.

[Otta]

Greg_st в сообщении #1021888 писал(а):

Таким образом, мат. ожидание $n_3$ будет равно $(1 - 3\Theta)n $.

Оно будет таким, это правда. Но это не вычисление матожидания, это так, гадание на кофейной гуще. Вам еще дисперсию считать, а вот там Ваши гадания ломаются.
И так и будет, пока Вы не определитесь

Otta в сообщении #1021736 писал(а):

Как она ($n_3$) распределена? да, в общем, тоже известно. И даже название у нее есть. Какое?

[Greg_st]

Otta в сообщении #1021912 писал(а):

Как она ($n_3$) распределена? да, в общем, тоже известно. И даже название у нее есть. Какое

Можете подсказать, какие разделы теории просмотреть? Перекопал уже всё из ТВ, что хоть как-то связано с дискретным распределением и мат. ожиданием - никаких отдельных обозначений для $n_3$ в нашем контексте не нашел. Глаз зацепился за частоту, но это уже, вроде как, совсем другая опера.
Сейчас пытаюсь расковырять $n_3$ в лоб, через вероятности получить от 1 до n элементов $n_3$, но, похоже, это гиблая затея.

[Otta]

Так а зачем Вы обозначения ищете? конечно, Вы их не найдете. По смыслу это что? Ну перечитайте еще раз про кубик, что ли. Неужели Вы такого сорта тексты никогда раньше не видели, изучив ТВ? не верю.

Greg_st в сообщении #1021956 писал(а):

Сейчас пытаюсь расковырять $n_3$ в лоб, через вероятности получить от 1 до n элементов $n_3$, но, похоже, это гиблая затея.

Ну почему, это многим до Вас удавалось. Только тогда уж от $0$ до $n$.