Уравнение с параметром

[Atom001]

provincialka в сообщении #1021446 писал(а):

поэтому его можно возвести в квадрат

$|x|+1=|x| + 2a\sqrt{|x|}+a^2$
Отсюда можно найти, что $a^2$ меньше или равна $1$, потому что сумма двух положительных выражений равна $1$.
То есть, $a\in[0;1]$?

-- 30.05.2015, 15:06 --

А, ну ещё $0$ выкинуть надо.

-- 30.05.2015, 15:06 --

Значит, $a\in(0;1]$?

[provincialka]

Atom001 в сообщении #1021453 писал(а):

Значит, $a\in(0;1]$?

Так. Это можно было узнать исследовав левую часть:
$\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}=\dfrac{1}{\sqrt{|x|+1}+\sqrt{|x|}}$. Видно, что эта функция убывает от 1 (в нуле) асимптотически к нулю.

[Atom001]

provincialka, спасибо за помощь!

Задам здесь ещё один вопрос, он всё равно касается С5.
В этом видео почти в самом конце (с 4:15) говорят, что бесконечно много решений будет в $y=7$. Объясните, пожалуйста, почему? Там ведь прямая пересекает "уголки" только в 4-х местах.

[provincialka]

Не поняла... Какие 4 места? График имеет две наклонные части и одну горизонтальную. Как раз на уровне $y=7$. Все "иксы" из этого отрезка являются решениями.

[Atom001]

Хорошо, скажите тогда, пожалуйста, когда вообще "икс" считается решением в данном случае. Очевидно, что я просто плохо это понимаю.

[provincialka]

Ну, как обычно! Те "иксы", для которых равенство выполняется.
Решаем уравнение $|x+2|+|x-5|=7$. Все $x$ из промежутка $[-2;5]$ подходят.

Графически: график правой части -- прямая $y=7$, график левой содержит в себе отрезок этой прямой. На $[-2;5]$ эти графики совпадают. Равенство выполняется

-- 30.05.2015, 10:41 --

(Оффтоп)

извините, убегаю... дальше попробуйте сами подумать...

[Atom001]

provincialka в сообщении #1021463 писал(а):

Графически: график правой части -- прямая $y=7$, график левой содержит в себе отрезок этой прямой. На $[-2;5]$ эти графики совпадают. Равенство выполняется

Спасибо! Теперь всё понятно!

[Munin]

Atom001 в сообщении #1021453 писал(а):

Значит, $a\in(0;1]$?

Попробуйте нарисовать графики функций $\sqrt{\left\lvert x\right\rvert +1}$ и $\sqrt{\left\lvert x\right\rvert},$ это поможет вам понять суть полученного ответа (а в других случаях - "угадать" его заранее), и проверить его на "физический смысл".

[Atom001]

Надеюсь, что верно нарисовал графики.



Только, вот, я не могу понять как именно могут помочь отдельные графики корней.
Я попробовал сложить красный и синий графики, получился зелёный. Вот он хорошо описывает то, что $a\in (0;1]$. Потому что $y=0$ - асимптота для зелёного графика, значит меньших и равных $0$ значений у этой функции нет. А в $y=1$ встречается последнее значение функции, выше функция просто не существует.

[Munin]

Atom001 в сообщении #1021487 писал(а):

Я попробовал сложить красный и синий графики, получился зелёный.

Наверное, вычесть :-)

Atom001 в сообщении #1021487 писал(а):

Вот он хорошо описывает то, что $a\in (0;1]$.

Да, но это было видно и по красному с синим, сразу же. Потому что $a$ - это расстояние между ними по вертикали.

Ну впрочем, может быть, это требует некоторой тренировки. Если вам удобно вычитать - вычитайте. Главное, что это позволяет проверять себя, "подглядывать в ответ", чтобы быть больше уверенным в правильности решения.

[Atom001]

Munin в сообщении #1021495 писал(а):

Наверное, вычесть

Да, действительно :)

Munin в сообщении #1021495 писал(а):

Да, но это было видно и по красному с синим, сразу же. Потому что $a$ - это расстояние между ними по вертикали.

Ну впрочем, может быть, это требует некоторой тренировки. Если вам удобно вычитать - вычитайте. Главное, что это позволяет проверять себя, "подглядывать в ответ", чтобы быть больше уверенным в правильности решения.

Ясно. Спасибо, за подсказку! На ЕГЭ, я думаю, будет полезно себя проверить.

[Munin]

Не только на ЕГЭ. Если вы пойдёте в вуз - то там вообще в любых рядовых задачах полезно себя проверять, потому что иначе легко ошибиться где-то в начале выкладок, и запороть всё остальное.

[Atom001]

Munin, буду иметь ввиду.

[provincialka]

Munin в сообщении #1021495 писал(а):

Да, но это было видно и по красному с синим, сразу же. Потому что $a$ - это расстояние между ними по вертикали.

У вас, видимо, "глаз пристрелян" Я бы не была уверена, что график стремится асимптотически к нулю, не знай я формулы $\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}=\dfrac{1}{\sqrt{|x|+1}+\sqrt{|x|}}$
Особенно по картинке ТС: она слишком схематичная!

[Munin]

Да, "пристрелян", но в другом смысле: я знаю поведение функции "квадратный корень", в том смысле, что $\sqrt{a+1}-\sqrt{a}$ стремится к нулю по мере роста $a.$ И кстати, знаю я это для любых степеней, меньших единицы: так уж ведут себя коренные параболы. Кроме того, насмотрелся на графики функций $f^2$ и $\sqrt{f}.$ Как видите, в целом я запоминаю графические образы, а ваша формула, напротив, алгебраическая, мне она менее очевидна.