Вычислить интеграл

[Alinchik_007]

Вычислить интеграл $\int_{0}^{+\infty}{x}^{-a}\sin(bx)dx$
Ни к каким известным интегралам свести не удалось!

[DiMath]

Alinchik_007 Явно сводится к интегральному синусу от $+\infty$, значение которого должно быть хорошо известно. Например, тривиально по частям.
Только нужно ограничить параметры, иначе интеграл разойдется.

[Alinchik_007]

Не могли бы вы подсказать, как этот интеграл можно свести к интегральному синусу?

[Vince Diesel]

Можно попробовать представить степенную функцию как интеграл

$$ x^{-a}=\frac1{\Gamma(a)}\int_0^{\infty } t^{a-1} e^{-xt} \, dt, $$

а затем поменять порядок интегрирования.

[DiMath]

Alinchik_007 Виноват. Не увидел, что он нуля. Подход Vince Diesel верный.

[ex-math]

Vince Diesel
Что-то легче не становится.
Все-таки, какое же издевательство заставлять считать такие интегралы без теоремы Коши.

[Vince Diesel]

Для $b=1$ после интегрирования по $x$ получается $\frac{t^a}{t^2+1}$. Заменой $z=t^2$ сводится к бета-функции

$$ B(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t $$

[ex-math]

Ага, а бета-функцию потом через гамма-функцию, и еще формулу дополнения вспомнить. Вот зачем такие вещи студентов заставлять делать, если теорема Коши дает ответ в одну строчку, ну плюс обоснование еще пара строк?

[Alinchik_007]

Нашла ответ, должно получиться вот так:
$\frac{\Gamma(1-a)}{b^{1-a}}\sin(\frac{(1-a)\pi}{2})$

[Lia]

Не надо ее писать, есть чудесная буква \Gamma.

(Оффтоп)

Рядом с окном ответа есть ссылка в т.ч. на FAQ по тегу math, пользуйтесь на здоровье.