2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 20:54 
Вычислить интеграл $\int_{0}^{+\infty}{x}^{-a}\sin(bx)dx$
Ни к каким известным интегралам свести не удалось!

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 21:29 
Alinchik_007 Явно сводится к интегральному синусу от $+\infty$, значение которого должно быть хорошо известно. Например, тривиально по частям.
Только нужно ограничить параметры, иначе интеграл разойдется.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 21:37 
Не могли бы вы подсказать, как этот интеграл можно свести к интегральному синусу?

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 22:36 
Можно попробовать представить степенную функцию как интеграл
$$
x^{-a}=\frac1{\Gamma(a)}\int_0^{\infty } t^{a-1} e^{-xt} \, dt,
$$
а затем поменять порядок интегрирования.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 23:37 
Alinchik_007 Виноват. Не увидел, что он нуля. Подход Vince Diesel верный.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 19:19 
Аватара пользователя
Vince Diesel
Что-то легче не становится.
Все-таки, какое же издевательство заставлять считать такие интегралы без теоремы Коши.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 20:05 
Для $b=1$ после интегрирования по $x$ получается $\frac{t^a}{t^2+1}$. Заменой $z=t^2$ сводится к бета-функции
$$
B(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t
$$

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 20:10 
Аватара пользователя
Ага, а бета-функцию потом через гамма-функцию, и еще формулу дополнения вспомнить. Вот зачем такие вещи студентов заставлять делать, если теорема Коши дает ответ в одну строчку, ну плюс обоснование еще пара строк?

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 21:32 
Нашла ответ, должно получиться вот так:
$\frac{\Gamma(1-a)}{b^{1-a}}\sin(\frac{(1-a)\pi}{2})$

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 21:35 
Не надо ее писать, есть чудесная буква \Gamma.

(Оффтоп)

Рядом с окном ответа есть ссылка в т.ч. на FAQ по тегу math, пользуйтесь на здоровье.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group