2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 20:54 


11/12/14
13
Вычислить интеграл $\int_{0}^{+\infty}{x}^{-a}\sin(bx)dx$
Ни к каким известным интегралам свести не удалось!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 21:29 


13/07/10
106
Alinchik_007 Явно сводится к интегральному синусу от $+\infty$, значение которого должно быть хорошо известно. Например, тривиально по частям.
Только нужно ограничить параметры, иначе интеграл разойдется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 21:37 


11/12/14
13
Не могли бы вы подсказать, как этот интеграл можно свести к интегральному синусу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 22:36 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Можно попробовать представить степенную функцию как интеграл
$$
x^{-a}=\frac1{\Gamma(a)}\int_0^{\infty } t^{a-1} e^{-xt} \, dt,
$$
а затем поменять порядок интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 23:37 


13/07/10
106
Alinchik_007 Виноват. Не увидел, что он нуля. Подход Vince Diesel верный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Vince Diesel
Что-то легче не становится.
Все-таки, какое же издевательство заставлять считать такие интегралы без теоремы Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 20:05 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Для $b=1$ после интегрирования по $x$ получается $\frac{t^a}{t^2+1}$. Заменой $z=t^2$ сводится к бета-функции
$$
B(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Ага, а бета-функцию потом через гамма-функцию, и еще формулу дополнения вспомнить. Вот зачем такие вещи студентов заставлять делать, если теорема Коши дает ответ в одну строчку, ну плюс обоснование еще пара строк?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 21:32 


11/12/14
13
Нашла ответ, должно получиться вот так:
$\frac{\Gamma(1-a)}{b^{1-a}}\sin(\frac{(1-a)\pi}{2})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 21:35 


20/03/14
12041
Не надо ее писать, есть чудесная буква \Gamma.

(Оффтоп)

Рядом с окном ответа есть ссылка в т.ч. на FAQ по тегу math, пользуйтесь на здоровье.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group