Размерность суммы и пересечения линейных оболочек

[2old]

Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек
$S=\operatorname{span}\{(1,1,1,1);(1,-1,1,-1);(1,3,1,3)\}$
$T=\operatorname{span}\{(1,2,0,2);(1,2,1,2);(3,1,3,1)\}$

Если вектор $x$ лежит в пересечении подпространств, то его можно представить ввиде: $\sum\limits_{i=1}^{3}\alpha_i s_i=x=\sum\limits_{i=1}^{3}\beta_i t_i$ и тогда $\sum\limits_{i=1}^{3}\alpha_i s_i-\sum\limits_{i=1}^{3}\beta_i t_i = 0$

Преобразуя методом Гаусса матрицу

$$A= \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &-1 &-1 &-3 \\ 1 &-1&3 &-2 &-2 &-1 \\ 1 &1&1 &0 &-1 &-3 \\ 1 &-1&3 &-2 &-2 &-1 \end{pmatrix}$$

,
я получаю $\operatorname{rank}{A}=3=\dim{(S+T)}$ и $\dim\ker{A}=3$.
Тут я немного расстроился, т.к. сначала думал, что размерность ядра и пересечения подпространств должны совпасть, т.к. каждому набору координат должен однозначно соответствовать вектор...Но, насколько я понял, раз матрица из векторов линейной оболочки (например $S$) вырожденная, то биекции не будет, значит нужно умножать её на матрицу из базисных векторов ядра усеченных до $\alpha_i$и смотреть.

$$\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &-1&3\\ 1 &1&1 \\ 1 &-1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 &-3 &-3 \\ 0 &1&0\\ 0 &0&1 \\ \end{pmatrix} $$

И получаем матрицу рангом 2, значит и размерность пересечения 2. Вроде все сошлось

Правильно я вообще делаю?

[Munin]

Навскидку видно, что вы векторы с ошибками в матрицу переписали.

[ewert]

Вообще искать размерность пересечения -- занятие несколько противное. Зато легко и приятно ищется размерность суммы. И поскольку Вам всё равно она нужна -- найдите сначала её, а потом размерности каждой оболочки по отдельности, отсюда и размерность пересечения получится.

[2old]

Munin
Вроде поправил. Наверное можно было вообще сразу без минусов переписать, оболочка осталось бы такой же, но я как-то не сообразил.

ewert
Я так себя проверял. Но там в следующем задании еще и базис просят все равно...

[iifat]

Поглядите — может, сочтёте полезным.

[svv]

2old
По поводу первого сообщения. Нормальный метод, только матрицу $A$ надо составлять из базисных векторов $S$ и базисных $T$. (Тем более, что в таких заданиях обычно требуется сначала найти эти базисы.) Тогда «фальшивых» решений, вроде $\alpha_1=-2, \alpha_2=\alpha_3=1$, все $\beta_i=0$, не будет.

(Я считал, что у Вас $\alpha_i$ и $\beta_i$ — коэффициенты, а $s_i, t_i$ — векторы, если всё наоборот, то, соответственно).

[ex-math]

Если Вы умеете записывать Ваши линейные оболочки в виде систем линейных уравнений (что само по себе полезно), то пересечение тоже найдется легко и приятно.

[2old]

iifat
Спасибо!

svv
Ура) Если без фальшивых, то слишком много придется гауссить :( Я лучше поперемножаю, у меня строчки путаются из-за зрения очень медленный процесс выходит))

ex-math
Надо научиться. Ссылка iffat вроде тоже как раз об этом.

[Brukvalub]

Все эти "фокусы-покусы" давно разобраны по косточкам в учебной литературе:
1.Шевцов "Линейная алгебра"
2. Кряквин "Линейная алебра в задачах и упражнениях"
3.Свежачок от кафедры ВГТ: Гайфуллин, Пенский Смирнов "Задачи по линейной алгебре и геометрии" (продается в МЦНМО - не сочтите за рекламу, реально полезная книга!)
Во всех трех книгах все нужные алгоритмы расписаны буквально по шагам.

[svv]

2old в сообщении #1021219 писал(а):

то слишком много придется гауссить

К сведению: и Кряквин (стр. 112 книги «Линейная алгебра. Пособие к решению задач...»), и Шевцов (стр. 150 книги «Линейная алгебра») ссылаются на одну и ту же задачу 1319 из книги Проскурякова «Сборник задач по линейной алгебре», в которой для нахождения базиса пересечения подпространств применяется метод, близкий к Вашему.

Об этом алгоритме Кряквин пишет, что

Цитата:

По вычислительной сложности он приблизительно такой же, как и используемый здесь.

(«Используемый здесь» — это через объединение однородных систем уравнений.)