2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 12:19 


07/04/15
244
Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек
$S=\operatorname{span}\{(1,1,1,1);(1,-1,1,-1);(1,3,1,3)\}$
$T=\operatorname{span}\{(1,2,0,2);(1,2,1,2);(3,1,3,1)\}$

Если вектор $x$ лежит в пересечении подпространств, то его можно представить ввиде: $\sum\limits_{i=1}^{3}\alpha_i s_i=x=\sum\limits_{i=1}^{3}\beta_i t_i$ и тогда $\sum\limits_{i=1}^{3}\alpha_i s_i-\sum\limits_{i=1}^{3}\beta_i t_i = 0$

Преобразуя методом Гаусса матрицу
$$A=
\begin{pmatrix}
1 &1 &1  &-1  &-1  &-3 \\ 
1 &-1&3  &-2  &-2  &-1 \\ 
1 &1&1 &0  &-1  &-3 \\ 
1 &-1&3  &-2  &-2  &-1 
\end{pmatrix}$$
,
я получаю $\operatorname{rank}{A}=3=\dim{(S+T)}$ и $\dim\ker{A}=3$.
Тут я немного расстроился, т.к. сначала думал, что размерность ядра и пересечения подпространств должны совпасть, т.к. каждому набору координат должен однозначно соответствовать вектор...Но, насколько я понял, раз матрица из векторов линейной оболочки (например $S$) вырожденная, то биекции не будет, значит нужно умножать её на матрицу из базисных векторов ядра усеченных до $\alpha_i$и смотреть.

$$\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\ 
1 &-1&3\\ 
1 &1&1  \\ 
1 &-1&3 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 &-3 &-3 \\ 
0 &1&0\\ 
0 &0&1  \\ 
\end{pmatrix}
$$

И получаем матрицу рангом 2, значит и размерность пересечения 2. Вроде все сошлось

Правильно я вообще делаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Навскидку видно, что вы векторы с ошибками в матрицу переписали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 12:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Вообще искать размерность пересечения -- занятие несколько противное. Зато легко и приятно ищется размерность суммы. И поскольку Вам всё равно она нужна -- найдите сначала её, а потом размерности каждой оболочки по отдельности, отсюда и размерность пересечения получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 12:44 


07/04/15
244
Munin
Вроде поправил. Наверное можно было вообще сразу без минусов переписать, оболочка осталось бы такой же, но я как-то не сообразил.

ewert
Я так себя проверял. Но там в следующем задании еще и базис просят все равно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 14:00 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Поглядите — может, сочтёте полезным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 18:39 
Заслуженный участник


23/07/08
9154
Харьков
2old
По поводу первого сообщения. Нормальный метод, только матрицу $A$ надо составлять из базисных векторов $S$ и базисных $T$. (Тем более, что в таких заданиях обычно требуется сначала найти эти базисы.) Тогда «фальшивых» решений, вроде $\alpha_1=-2, \alpha_2=\alpha_3=1$, все $\beta_i=0$, не будет.

(Я считал, что у Вас $\alpha_i$ и $\beta_i$ — коэффициенты, а $s_i, t_i$ — векторы, если всё наоборот, то, соответственно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Если Вы умеете записывать Ваши линейные оболочки в виде систем линейных уравнений (что само по себе полезно), то пересечение тоже найдется легко и приятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 20:05 


07/04/15
244
iifat
Спасибо!

svv
Ура) Если без фальшивых, то слишком много придется гауссить :( Я лучше поперемножаю, у меня строчки путаются из-за зрения очень медленный процесс выходит))

ex-math
Надо научиться. Ссылка iffat вроде тоже как раз об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Все эти "фокусы-покусы" давно разобраны по косточкам в учебной литературе:
1.Шевцов "Линейная алгебра"
2. Кряквин "Линейная алебра в задачах и упражнениях"
3.Свежачок от кафедры ВГТ: Гайфуллин, Пенский Смирнов "Задачи по линейной алгебре и геометрии" (продается в МЦНМО - не сочтите за рекламу, реально полезная книга!)
Во всех трех книгах все нужные алгоритмы расписаны буквально по шагам. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность суммы и пересечения линейных оболочек
Сообщение29.05.2015, 23:24 
Заслуженный участник


23/07/08
9154
Харьков
2old в сообщении #1021219 писал(а):
то слишком много придется гауссить

К сведению: и Кряквин (стр. 112 книги «Линейная алгебра. Пособие к решению задач...»), и Шевцов (стр. 150 книги «Линейная алгебра») ссылаются на одну и ту же задачу 1319 из книги Проскурякова «Сборник задач по линейной алгебре», в которой для нахождения базиса пересечения подпространств применяется метод, близкий к Вашему.

Об этом алгоритме Кряквин пишет, что
Цитата:
По вычислительной сложности он приблизительно такой же, как и используемый здесь.
(«Используемый здесь» — это через объединение однородных систем уравнений.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group